O djeljivosti (zadatak)

[StateOfConsciousness]

Imam dva problema koje trenutno ne bih znao riješiti pa...ako netko zna, samo naprijed.
Dokazati da je broj koji se sastoji od 3^n jedinica djeljiv sa 3^n, za svaki prirodni broj n.
Dokazati da, ako je zbroj triju cijelih brojeva djeljiv sa 6,tada je i zbroj njihovih kubova djeljiv sa 6.
Ima li netko ideju kako ovo dokazati?
Slutim da bi se prvi problem možda morao indukcijom dokazivati dok za drugi nemam ideje.
Šaljite primjedbe,prijedloge, etc...

_________________
Look at every path closely and deliberately. Try it as many times as you think necessary. Then ask yourself,
and yourself alone, one question . . . Does this path have a heart? If it does, the path is good; if it doesn’t it is of no use.
Carlos Castaneda, The Teachings of Don juan

[alen]

i

što je očito djeljivo s 2 (svaki od pribrojnika je). Znači ekvivalentno je.

_________________
Između ostalog, mislim da bi kolegij mjera i integral trebao imati svoj podforum među kolegijima treće godine

[Melkor]

Što se tiče prvog, može se indukcijom. Uvedimo oznaku .

Očito .

Pretpostavimo da za neki vrijedi . Tad imamo:



Po pretpostavci indukcije dijeli prvi faktor, a očito dijeli drugi faktor. Prema tome, dijeli sve skupa.

_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.

[behemont]

Imas identitet
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

[Gost]

Ili:

a^3 - a = (a-1)a(a+1) očito je djeljivo sa 6

pa je i

a^3 - a + b^3 - b + c^3 - c = (a-1)a(a+1) + (b-1)b(b+1) + (c-1)c(c+1),

djeljivo sa 6.

Dakle, ako je zbroj n cijelih brojeva djeljiv sa 6, onda je i zbroj
njihovih kubova djeljiv sa 6.