|
Ovako od oka, cini mi se da: ili niste dobro definirali neke stvari ili bas nisi shvatio neke stvari :D (ovo je bilo iskljucivo ili).
Dakle, za pocetak ako je dan unitarni prostor [latex]X[/latex] mozemo dobiti ortonormiran niz [latex](f_n)[/latex] (Gram-Schmitovim postupkom ortonomiranja), te je zbog Besselove nejednakosti dobro definiran Fourierov red [latex]\sum (f|f_n)[/latex]
[quote="Grga"]
Nakon toga gledamo realne funkcije, i ONB bazu (baza za realne funkcije) [latex]\Pi_{rg} = \{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos x}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt{2\pi}}, \frac{\cos 2x}{\sqrt{2\pi}}, \ldots \}[/latex]
[/quote]
Ovo nazalost nije tocno, to doista jest ortonormiran niz u prostoru neprekidnih funkcija (nema potrebe ici u vecu opcenitost), uz skalarni produkt definiranim (L)-integralom po segmentu [latex] [-\pi,\pi] [/latex] no to ne moze biti i ONB, poglavito zbog cinjenice da bi sve funkcije morale biti definirane na [latex][-\pi,\pi][/latex] i periodicne sa periodom [latex]2\pi[/latex], pa bi prosirivanjem uspjeli to donekle rijesiti.
[quote="Grga"]
Nakon toga kazemo da je Fouriereov red zadan sa [latex]\frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty (a_n \cos nx + b_n \sin nx)[/latex] i sad ako gledamo po definiciji, imamo:
[latex]a_n \cos nx = \left< f, \frac{\cos nx}{\sqrt{2 \pi}} \right> \frac{\cos nx}{\sqrt{2\pi}} = \frac{\cos nx}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\pi}^\pi \frac{f \cos nx}{\sqrt{2\pi}} dx
\\
\Leftrightarrow a_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) dx[/latex]
No, mi smo rekli da su koeficijenti [latex]a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (nx) dx[/latex] pa ocito negdje grijesim. Zanima me u cemu?[/quote]
Ako dobro shvacam, ovdje je inicijalno bilo rijec o funkcijama definiranim na [latex][0,\pi][/latex]. Preostaje pitanje prosirivanja tih funkcija da bi [latex]\Pi_{rg}[/latex] doista bila ONB. Najcesce se u PDJ-u i u slicnim kolegijima sa primjenom F-redova, cini tako da ako je f-ija bila neprekidna na [latex][0,\pi][/latex] to i ostane eventualnim prosirivanje. Odmah se namcu dva moguca rjesenja, prosiranje po parnosti i neparnosti. Ako prosirimo fiju po nepranosti, ona ne mora ostati neprekidna, no prosirivanjem po parnosti ona ce uvijek ostati neprekidna, zato isceznu svi koef. sa sinusima, pa ostanu samo koef. sa kosinusima. Takoder, buduci da si promatramo inicijalno funkciju na [latex][0,\pi][/latex], bilo bi u redu da koef. odgovaraju tome, zato te koef. jednostavno podijelis sa 2 (te otud ta razlika), sto je takoder dobro ako smo odabrali parno prosirenje.
Nadam se da sada "vidis svjetlo na kraju tunela" :D [size=7]jer ga ja ne vidim[/size].
Edit:LaTex ne radi, ne znam zasto, neka vsego to sredi :D !
Edit: Takoder ni smajlici ne rade.
Ovako od oka, cini mi se da: ili niste dobro definirali neke stvari ili bas nisi shvatio neke stvari  (ovo je bilo iskljucivo ili).
Dakle, za pocetak ako je dan unitarni prostor  mozemo dobiti ortonormiran niz  (Gram-Schmitovim postupkom ortonomiranja), te je zbog Besselove nejednakosti dobro definiran Fourierov red 
| Grga (napisa): |
Nakon toga gledamo realne funkcije, i ONB bazu (baza za realne funkcije) 
|
Ovo nazalost nije tocno, to doista jest ortonormiran niz u prostoru neprekidnih funkcija (nema potrebe ici u vecu opcenitost), uz skalarni produkt definiranim (L)-integralom po segmentu  no to ne moze biti i ONB, poglavito zbog cinjenice da bi sve funkcije morale biti definirane na  i periodicne sa periodom  , pa bi prosirivanjem uspjeli to donekle rijesiti.
| Grga (napisa): |
Nakon toga kazemo da je Fouriereov red zadan sa  i sad ako gledamo po definiciji, imamo:
No, mi smo rekli da su koeficijenti  pa ocito negdje grijesim. Zanima me u cemu? |
Ako dobro shvacam, ovdje je inicijalno bilo rijec o funkcijama definiranim na  . Preostaje pitanje prosirivanja tih funkcija da bi  doista bila ONB. Najcesce se u PDJ-u i u slicnim kolegijima sa primjenom F-redova, cini tako da ako je f-ija bila neprekidna na to i ostane eventualnim prosirivanje. Odmah se namcu dva moguca rjesenja, prosiranje po parnosti i neparnosti. Ako prosirimo fiju po nepranosti, ona ne mora ostati neprekidna, no prosirivanjem po parnosti ona ce uvijek ostati neprekidna, zato isceznu svi koef. sa sinusima, pa ostanu samo koef. sa kosinusima. Takoder, buduci da si promatramo inicijalno funkciju na , bilo bi u redu da koef. odgovaraju tome, zato te koef. jednostavno podijelis sa 2 (te otud ta razlika), sto je takoder dobro ako smo odabrali parno prosirenje.
Nadam se da sada "vidis svjetlo na kraju tunela" jer ga ja ne vidim.
Edit:LaTex ne radi, ne znam zasto, neka vsego to sredi !
Edit: Takoder ni smajlici ne rade.
|
