Pitanje (DZ)

[zmaj]

Zad: Odredite sve polinome Iz R koji zadovoljavaju
x(x-1)f(x+1) = (x-2)(x+1)f(x-1)

Pokušaj rješenja:
x=0... 0(-1)f(1) = (-2)(1)f(-1)...f(-1)=0
x=1...1(0)f(2)=(-1)2f(0).,..f(0)=0
x=-1......f(0)=0
x=2.......f(3)=0


x dijeli f(x) (x+1) dijeli f (x-3) dijeli f
x(x+1)(x-3) dijeli f
Sad to uvrstim u jednadžbu iz zadatka i dobijem

(x+2)q(x)=(x-4)q(x-1)

Ikako sada dalje???

[vsego]

Uf... Ja sam malo ispao iz stosha, ali imam 15 minuta za ubit' (do predavanja), pa da probam malo...

x=3 3(3-1)f(3+1) = (3-1)(3+1)f(3-1) 6f(4) = 8f(2) 3f(4) = 4f(2)
x=4 4(4-1)f(4+1) = (4-1)(4+1)f(4-1) 12f(5) = 15f(3) = 0

Dakle, imas: f(-1) = f(0) = f(3) = 0

Pretpostavimo da je f(2k+1) = 0 za svaki iz N (dakle, za 1, 2, 3,... 2k+1 je iz {3, 5, 7,...}).

Bazu imas: f(3) = 0

Ako vrijedi za 2k+1 onda to uvrstimo 2k+2 u pocetnu jednadzbu:

(2k+2) ((2k+2) - 1) f((2k+2) + 1) = ((2k+2) - 2) ((2k+2) + 1) f((2k+2) - 1)
(2k+1)(2k+2) f(2k+3) = 2k(2k+3) f(2k +1)

Po pretpostavci indukcije je f(2k+1) = 0, pa to uvrstimo. Imas:

(2k+1)(2k+2) f(2k+3) = 2k(2k+3) f(2k +1) = 0

Ali, 2k+1 je iz skupa {3, 5, 7,...} tj. 2k+1>0 i 2k+2>0, pa smijemo dijeliti s njima. Ostane:

f(2k+3) = f(2(k+1)+1) = 0

Dakle, polinom ima beskonacno (iako prebrojivo) mnogo nultocaka. To, cini mi se, moze biti samo nul-polinom...

P.S. Nadam se da nisam nista (jako) fulao...

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.