Izluđuje me jedna sitnica koju ne mogu razjasniti u dokazu leme II.5.5. iz Hungerfordove Algebre. Lema glasi ovako:
Ako je [latex]H[/latex] [latex]p[/latex]-podgrupa konačne grupe [latex]G[/latex], onda je [latex][N_G(H)]\equiv [G] \pmod p[/latex].
Stvar se dokazuje tako da se definiraju skupovi [latex]S=\{xH\ |\ x\in G\}[/latex] i [latex]S_0=\{xH\in S\ |\ hxH=xH \text{ za sve } h\in H\}[/latex]. Prema jednoj od prethodnih lema (II.5.1.), imamo [latex]|S|\equiv |S_0| \pmod p[/latex]. Jasno je da je [latex]|S| = [G][/latex]. Treba se pokazati da je [latex]|S_0| = [N_G(H)][/latex].
E sad, jasno mi je da je [latex]xH\in S_0\ \Leftrightarrow\ x^{-1}Hx\subseteq H[/latex]. Jasno mi je i da je [latex]x\in N_G(H)\ \Leftrightarrow\ x^{-1}Hx=H[/latex]. Ne znam kako spojiti to dvoje. Mora da je nešto trivijalno, ali naprosto ne vidim kako iz prvog slijedi drugo.
Ima netko ideju?
[size=9][color=#999999]Added after 43 minutes:[/color][/size]
Aha, kužim... Ako je [latex]x^{-1}Hx\subseteq H[/latex], onda je funkcija [latex]\varphi\colon H\to H,\ \varphi(h) = x^{-1}hx[/latex] dobro definirana injekcija. Kako je [latex]H[/latex] konačan skup, [latex]\varphi[/latex] je i surjekcija. Prema tome, za svaki [latex]h\in H[/latex] postoji [latex]h'\in H[/latex] takav da je [latex]\varphi(h')=x^{-1}h'x=h[/latex], a to upravo znači da je [latex]H\subseteq x^{-1}Hx[/latex].
No dobro, ako netko nekad zapne na tome, nek se nađe...
Izluđuje me jedna sitnica koju ne mogu razjasniti u dokazu leme II.5.5. iz Hungerfordove Algebre. Lema glasi ovako:
Ako je 
-podgrupa konačne grupe 
, onda je 
.
Stvar se dokazuje tako da se definiraju skupovi 
i 
. Prema jednoj od prethodnih lema (II.5.1.), imamo 
. Jasno je da je 
. Treba se pokazati da je 
.
E sad, jasno mi je da je 
. Jasno mi je i da je 
. Ne znam kako spojiti to dvoje. Mora da je nešto trivijalno, ali naprosto ne vidim kako iz prvog slijedi drugo.
Ima netko ideju?
Added after 43 minutes:
Aha, kužim... Ako je 
, onda je funkcija 
dobro definirana injekcija. Kako je konačan skup, 
je i surjekcija. Prema tome, za svaki 
postoji 
takav da je 
, a to upravo znači da je 
.
No dobro, ako netko nekad zapne na tome, nek se nađe...
_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
