POMOĆ ZA POLINOME

[zmaj]

1. Neka su f,g iz R(x) i neka je g(x)=x^3-ax^2-ax-1.
Dokažite da M(f,g) nije djeljiva s (x+1)

2. Dokažite: (1-x)^3l(1-x^n)(1+x)-2nx^n(1-x)-n^2x^n(1-x)^2

"Trebalo bi mi riješenje ili ideja!!!"

[veky]

[Gost]

Prvi zadatak je jasan. Drugi, teži, može se riješiti i tako da se provjeri da druga derivacija polinoma ima nultočku 1, ali čini mi se da je to dosta nezgrapan način s dosta računanja iz kojeg se ne vidi puno. Može i ovako, bez deriviranja, a uz višekratnu uporabu formule
x^n - 1 = (x - 1)(x^(n-1) +...+x+1).

Faktor 1-x lako se izluči iz zadanog polinoma. U dobivenom kvocijentu
svakom od 2n pribrojnika dobivenih iz
(x + 1)(x^(n-1) +...+x+1) "pridijeli" se po jedan -x^n (kojih također ima 2n) pa se dobiju razlike oblika x^k - x^n koje su sve djeljive s 1-x. Kad se izluči 1-x iz svega, ostaje kvocijent koji izgleda "nezgodno", ali se u njega lako uvrsti x=1 i dobije se n+n^2-n-n^2 = 0, što znači da je i taj polinom djeljiv s 1-x, a zadani polinom ukupno je djeljiv s (1-x)^3,
No, ni s ovim načinom nisam jako sretan i mislim da mora postojati nešto elegantnije, što u ovom trenutku još ne vidim...

[zmaj]

HVALA!!! Ovo je bilo jasno i dovoljno!!