|
[quote="kreso"]Ovaj x u xAB=BA nije tipfeller, jedino kaj u zadatku piše Pi al pretpostavljam da se ne mislili na 3.14....[/quote]
Ah, da, tocno... ne treba biti skroz komutativno; dosta je komutativno "do na faktor". :)
[quote="kreso"]Ali nije mi baš jasno, što misliš pod: "dignes A+B na dovoljno visoku potenciju da uvijek neki element iz sume ima ocitu nulu"
Pa zar ne bi svi u elementi u sumi trebali biti jednaki 0 tj. zar ne bi ta suma trebala biti =0?[/quote]
Trebali bi biti, ako je potencija dovoljno visoka. :) Recimo
[latex](A+B)^{\textrm{ind }A}[/latex]
nema razloga biti jednak nuli. :)
Dakle, ako je BA=xAB, onda je
[latex]$\begin{align*}A + B &= A + B, \\
(A+B)^2 &= A^2 + AB + BA + B^2 = A^2 + (1+x)AB + B^2, \\
(A+B)^3 &= (A^2 + (1+x)AB + B^2)(A+B) = A^3 + (1+x)ABA + B^2A + A^2B + (1+x)AB^2 + B^3 \\
&= A^3 + (1+x)xA^2B + x^2AB^2 + A^2B + (1+x)AB^2 + B^3 \\
&= A^3 + (x^2+x+1)A^2B + (x^2+x+1)AB^2 + B^3 \\
&\ \,\vdots
\end{align*}[/latex]
Opceniti oblik lako pogodis i dokazes indukcijom, no lakse je primijetiti da je
[latex](A+B)^m = \sum_{k=0}^m f(x,k)A^{m-k}B^k, \quad f: \mathbb{R} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}.[/latex]
Ocito, tocna vrijednost [latex]f(x, k)[/latex] nije bitna, nego je vazno samo da je to realni broj. :)
I sada primijetis da je ono sto te zanima oblika
[latex]A^{m-k}B^k.[/latex]
To je nula za:[list][*][latex]k \geq \textrm{ind }B[/latex] ili
[*][latex]m-k \geq \textrm{ind }A[/latex], tj. [latex]k \leq m-\textrm{ind }A[/latex].[/list:u]
Ako uzmes: [latex]m = \textrm{ind }A + \textrm{ind }B - 1[/latex], onda je jedan od tih uvjeta uvjek istinit, pa su i svi clanovi sume jednaki nuli:
[latex]f(x,k)A^{m-k}B^k = 0[/latex],
sto znaci da je i sama suma jednaka nuli:
[latex](A+B)^m = \sum_{k=0}^m f(x,k)A^{m-k}B^k = 0[/latex].
Pazi: ovo je samo dokaz nilpotentnosti; nitko ne kaze da je [latex]m = \textrm{ind }A + \textrm{ind }B - 1[/latex] stupanj! :-s Recimo, za [latex]A=-B[/latex], ocito je da je stupanj jednak nuli, neovisno o stupnjevima [latex]A[/latex] i [latex]B[/latex]. ;)
| kreso (napisa): | | Ovaj x u xAB=BA nije tipfeller, jedino kaj u zadatku piše Pi al pretpostavljam da se ne mislili na 3.14.... |
Ah, da, tocno... ne treba biti skroz komutativno; dosta je komutativno "do na faktor". 
| kreso (napisa): | Ali nije mi baš jasno, što misliš pod: "dignes A+B na dovoljno visoku potenciju da uvijek neki element iz sume ima ocitu nulu"
Pa zar ne bi svi u elementi u sumi trebali biti jednaki 0 tj. zar ne bi ta suma trebala biti =0? |
Trebali bi biti, ako je potencija dovoljno visoka. Recimo
nema razloga biti jednak nuli.
Dakle, ako je BA=xAB, onda je
Opceniti oblik lako pogodis i dokazes indukcijom, no lakse je primijetiti da je
Ocito, tocna vrijednost  nije bitna, nego je vazno samo da je to realni broj.
I sada primijetis da je ono sto te zanima oblika
To je nula za:
Ako uzmes:  , onda je jedan od tih uvjeta uvjek istinit, pa su i svi clanovi sume jednaki nuli:
 ,
sto znaci da je i sama suma jednaka nuli:
 .
Pazi: ovo je samo dokaz nilpotentnosti; nitko ne kaze da je stupanj!  Recimo, za  , ocito je da je stupanj jednak nuli, neovisno o stupnjevima  i  . 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
