|
Eto zasto ja tvrdim da je programiranje korisno. :D Ovo je u PERLu, no u C-u je gotovo isto (malo drugacije ide ispis i varijable nemaju '[tt]$[/tt]') i ispisuje prvih 100 clanova niza na 13 decimala:
[code:1]$ perl -e '$a=3;for($i=1;$i<=100;++$i){print"$a, ";$a=2*$a/3-4;}print"$a\n";'
3, -2, -5.33333333333333, -7.55555555555556, -9.03703703703704, -10.0246913580247, -10.6831275720165, -11.122085048011, -11.4147233653407, -11.6098155768938, -11.7398770512625, -11.8265847008417, -11.8843898005611, -11.9229265337074, -11.9486176891383, -11.9657451260922, -11.9771634173948, -11.9847756115965, -11.989850407731, -11.993233605154, -11.9954890701027, -11.9969927134018, -11.9979951422679, -11.9986634281786, -11.999108952119, -11.9994059680794, -11.9996039787196, -11.9997359858131, -11.999823990542, -11.9998826603614, -11.9999217735742, -11.9999478490495, -11.9999652326997, -11.9999768217998, -11.9999845478665, -11.9999896985777, -11.9999931323851, -11.9999954215901, -11.9999969477267,-11.9999979651511, -11.9999986434341, -11.9999990956227, -11.9999993970818, -11.9999995980545, -11.9999997320364, -11.9999998213576, -11.9999998809051, -11.9999999206034, -11.9999999470689, -11.9999999647126, -11.9999999764751, -11.9999999843167, -11.9999999895445, -11.9999999930297, -11.9999999953531, -11.9999999969021, -11.9999999979347, -11.9999999986231, -11.9999999990821, -11.9999999993881, -11.999999999592, -11.999999999728, -11.9999999998187, -11.9999999998791, -11.9999999999194, -11.9999999999463, -11.9999999999642, -11.9999999999761, -11.9999999999841, -11.9999999999894, -11.9999999999929, -11.9999999999953, -11.9999999999969, -11.9999999999979, -11.9999999999986, -11.9999999999991, -11.9999999999994, -11.9999999999996, -11.9999999999997, -11.9999999999998, -11.9999999999999, -11.9999999999999, -11.9999999999999, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12[/code:1]
Dakle, cini se da konvergira prema -12. 8)
A sada matematika... :)
Pretpostavimo da je niz konvergentan. :) Tada za njegov limes L mora vrijediti:
[latex]L = \frac{2}{3}L - 4[/latex].
Rijesimo jednadzbu:
[latex]3L = 2L - 12 \quad \Rightarrow \quad L = -12[/latex].
Dakle, [b]ako limes postoji[/b], onda je on -12. :D To je korisna informacija, no jos uvijek moramo dokazati da limes zaista i postoji. ;)
Uzmimo da je [latex]a_n \geq -12[/latex]. Tada je
[latex]a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - 4 \geq \frac{2}{3}(-12) - 4 = -8 - 4 = -12[/latex].
Posto je [latex]a_1 = 3 > 12[/latex], po matematickoj indukciji zakljucujemo da je [latex]a_n \geq 12[/latex] za sve [latex]n[/latex], pa imamo donju ogradu. :D
Sada, i koristeci to sto sada [b]znamo[/b] (u proslom paragrafu smo samo pretpostavljali) da je [latex]a_n \geq -12[/latex], imamo:
[latex]a_{n+1} = \frac{2}{3}a_n - 4 \Rightarrow
a_{n+1} - a_n = -\frac{1}{3}a_n - 4 \leq \frac{1}{3}(12) - 4 = 4 - 4 = 0[/latex], sto znaci da niz pada. :)
Dakle, zakljucujemo da je niz padajuci i ogranicen odozdo, sto znaci da je konvergentan. 8) Limes smo vec izracunali... :sreca:
Vjerujem da postoji neki ljepsi nacin za to, no ja sam davno van tog gradiva, a i vise volim ovakve pristupe nego recepte (recepti se kad-tad zaborave). ;)
Usput, ako uzmemo niz [latex]b_1 = -1[/latex], [latex]b_{n+1} = -b_n[/latex] i pretpostavimo da je konvergentan, gornji nacin ce nam dati zakljucak da je njegov limes, oznacimo ga s [latex]L_b[/latex]:
[latex]L_b = -L_b \quad \Rightarrow \quad L_b = 0[/latex].
Dakle, izracunali smo limes divergentnog niza: opci clan je [latex]b_n = (-1)^n[/latex]. :shock: Dakle, samo racunanje limesa [b]NIJE[/b] dovoljan dokaz da limes i postoji i zato, bez dokaza konvergencije, nije nikakav rezultat (ali je zgodna informacija za samo dokazivanje konvergentnosti ;)).
Eto zasto ja tvrdim da je programiranje korisno.  Ovo je u PERLu, no u C-u je gotovo isto (malo drugacije ide ispis i varijable nemaju '$') i ispisuje prvih 100 clanova niza na 13 decimala:
| Kod: | $ perl -e '$a=3;for($i=1;$i<=100;++$i){print"$a, ";$a=2*$a/3-4;}print"$a\n";'
3, -2, -5.33333333333333, -7.55555555555556, -9.03703703703704, -10.0246913580247, -10.6831275720165, -11.122085048011, -11.4147233653407, -11.6098155768938, -11.7398770512625, -11.8265847008417, -11.8843898005611, -11.9229265337074, -11.9486176891383, -11.9657451260922, -11.9771634173948, -11.9847756115965, -11.989850407731, -11.993233605154, -11.9954890701027, -11.9969927134018, -11.9979951422679, -11.9986634281786, -11.999108952119, -11.9994059680794, -11.9996039787196, -11.9997359858131, -11.999823990542, -11.9998826603614, -11.9999217735742, -11.9999478490495, -11.9999652326997, -11.9999768217998, -11.9999845478665, -11.9999896985777, -11.9999931323851, -11.9999954215901, -11.9999969477267,-11.9999979651511, -11.9999986434341, -11.9999990956227, -11.9999993970818, -11.9999995980545, -11.9999997320364, -11.9999998213576, -11.9999998809051, -11.9999999206034, -11.9999999470689, -11.9999999647126, -11.9999999764751, -11.9999999843167, -11.9999999895445, -11.9999999930297, -11.9999999953531, -11.9999999969021, -11.9999999979347, -11.9999999986231, -11.9999999990821, -11.9999999993881, -11.999999999592, -11.999999999728, -11.9999999998187, -11.9999999998791, -11.9999999999194, -11.9999999999463, -11.9999999999642, -11.9999999999761, -11.9999999999841, -11.9999999999894, -11.9999999999929, -11.9999999999953, -11.9999999999969, -11.9999999999979, -11.9999999999986, -11.9999999999991, -11.9999999999994, -11.9999999999996, -11.9999999999997, -11.9999999999998, -11.9999999999999, -11.9999999999999, -11.9999999999999, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12, -12 |
Dakle, cini se da konvergira prema -12. 
A sada matematika... 
Pretpostavimo da je niz konvergentan. Tada za njegov limes L mora vrijediti:
 .
Rijesimo jednadzbu:
 .
Dakle, ako limes postoji, onda je on -12. To je korisna informacija, no jos uvijek moramo dokazati da limes zaista i postoji. 
Uzmimo da je  . Tada je
 .
Posto je  , po matematickoj indukciji zakljucujemo da je  za sve  , pa imamo donju ogradu.
Sada, i koristeci to sto sada znamo (u proslom paragrafu smo samo pretpostavljali) da je , imamo:
 , sto znaci da niz pada.
Dakle, zakljucujemo da je niz padajuci i ogranicen odozdo, sto znaci da je konvergentan. Limes smo vec izracunali... 
Vjerujem da postoji neki ljepsi nacin za to, no ja sam davno van tog gradiva, a i vise volim ovakve pristupe nego recepte (recepti se kad-tad zaborave).
Usput, ako uzmemo niz  ,  i pretpostavimo da je konvergentan, gornji nacin ce nam dati zakljucak da je njegov limes, oznacimo ga s  :
 .
Dakle, izracunali smo limes divergentnog niza: opci clan je  .  Dakle, samo racunanje limesa NIJE dovoljan dokaz da limes i postoji i zato, bez dokaza konvergencije, nije nikakav rezultat (ali je zgodna informacija za samo dokazivanje konvergentnosti ).
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
