|
1.Za vektore a, b i c vrijedi a +b +c = 0 i |a| = |b| = |c| = 1. Izracunajte a*b +b*c +c*a.
rijesenje
Znamo da ako za vektore a, b i c vrijedi a+b+c=0 da tada oni tvore trokut, a kako je |a|=|b|=|c|=1 očito je da oni tvore jednakostranični trokut, odnosno (a, b) =(b, c) =(c, a) = 120°.
Sada je jasno da je a*b + b*c + c*a = - 1/2 - 1/2 - 1/2 = - 3/2.
2.Napisite jedncinu tangente na parabolu y2 = 4x koja je paralelna s jednom od asimp-
tota hiperbole 9x2 ¡ 4y2 = 36.
rijesenje
Jednadžba parabole općenito y2=2px, pa iz y2=4x, slijedi p=2.
Iz jednadžbe hiperbole 9x2-4y2=36, slijedi da su joj jednadžbe asimptota (y1=b/ax i y2=-b/ax) u našem slučaju
y1=3/2x i y2=-3/2x, uzmemo li npr. tangentu koja će biti paralelna s asimptotom y1=3/2x, tada nam je koeficijent smjera tangente k=3/2.
Uvijet tangencijalnosti parabole glasi p=2kl, tj. 2=2*(3/2)*l, odatle l=2/3,
slijedi jednadžba tangente y=3/2x+2/3
3.Zadani su elipsa x2 + 4y2 = 4 te pravac y = x. Odredite jednacine tangenata
tangenata na elipsu u tackama sjecista pravca i elipse.
rijesenje
x2+4y2=4
y=x
x2+4x2=4
5x2=4
x=+-sqrt(4/5)
ako je tocka zadana, racunas po formuli
b2x1x+a2y1y=a2b2
kako je y=x, imas dva rjesenja, jedno kad su oba pozitivni, drugo kad nisu ... kad su negativna, oba
4.Odredite jednacine zajednickih tangenata kruznice x2 + y2 = 8 i hiperbole 5x2 − 9y2 = 180.
rijesnje
uvjet da pravac bude tangenta kruznice sa sredistem u ishodistu je
r2(1+k2)=l2
uvrstavanjem poznatih podataka imamo
8(1+k2)=l2
uvjet da pravac bude tangenta hiperbole je
a2k2-b2=l2
odnosno
36k2-20=l2
sad rjesavamo sustav, kako bi dobili k i l
8(1+k2)=36k2-20
k2=1
k1=1, k2=-1
8(1+k2)=l2
l2=16
l1=4, l2=-4
imamo dakle 4 rjesenja
y=x+4
y=x-4
y=-x+4
y=-x-4
5.Dokazite da je (a x b) * (c x d) = (a * c) * (b * d) - (b * c) * (a * d).
rijesenje
uradila sam...
koristila sam identitete
ax(bxc)=(a*c)*b-(a*b)*c
(axb)xc=(a*c)*b-(b*c)*a
ax(bxc)=[a,b,c]
(axb)*(cxd)=[a,b,cxd]=a*[bx(cxd)]=a*[(b*d)*c-(b*c)*d]=(a*c)*(b*d)-(a*d)*(b*c)
[size=9][color=#999999]Added after 3 minutes[/color][/size]
evo jos zadacica
Zadan je pravac p ...x-1/1=y-2/0=z-3/-1 i tacke A i B na pravcu p tako da trokut ABC, gdje je C(1, 4, 1), bude
jednakostranican.
rjesenje
rijesil sam
neka je i A(a1,b1,c1) B(a2,b2,c2)
iskoristi uslove AB=AC=BC. iz uslova da tacke A i B pripadaju pravcu , mozes dobiti sljedece jednacine.
a2-a1=1
b2-b1=0
c2-c1=-1
Dalje napravis sistem od 2 jednacine sa 2 nepoznata parametra a i b
d(AC)=d(BC)
d(AC)=d(AB)
koje kada se kvadriraju glase
(a+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-a+3-1)^2 = (b+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-b+3-1)^2
(a+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-a+3-1)^2 = (a+1-b-1)^2 + (2-2)^2 + (-a+3+b-3)^2
odnosno
a^2 + 4 + a^2 - 4*a + 4 = b^2 + 4 + b^2 - 4*b + 4
a^2 + 4 + a^2 - 4*a + 4 = a^2 -2a*b + b^2 + 0 + a^2 -2a*b + b^2
odnosno
a^2 - 2*a = b^2 - 2*b
4 - 2*a =b^2 - 2*a*b
odnosno
(a-b)*(a+b-2)=0
4 - 2*a =b^2 - 2*a*b
a=b ne daje trugao (poklapale bi se tacke A i B), vec (a+b-2)=0 odnosno a=2-b sto zamenom u drugu jedanacinu daje
4-4+2*b = b^2 - 4*b + 2*b^2
odnosno
3*b^2-6*b=0
b=0 ili b=2
a=2 ili a=0
za (b=0, a=2) imamo A(3,2,1) a B(1,2,3)
za (b=2, a=0) imamo A(1,2,3) a B(3,2,1) sto je isto resenje.
Provera d(AB)=d(AC)=d(BC) = koren(
[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]
Napisite jednacinu tangenata povucenih iz tacke(8,8) na kruznicu x2+y2=32, te
odredite kut medu njima.
tocka je bila 8,8 pretpostavljam....
uvjet da pravac bude tangenta na kruznicu sa sredistem u ishodistu je:
r2(1+k2)=l2
32(1+k2)=l2
tangenta je oblika y=kx+l, a kako prolazi tockom ( 8,8 ) mozemo te koordinate uvrstit....
8=8k+l
l=8-8k
to uvrstavamo gore...
nakon sredivanja dobivamo
k2-4k+1=0
k=2+-sqrt(3)
za k=2+sqrt(3), l= -8-8sqrt(3)
za k=2-sqrt(3), l= -8+8sqrt(3)
kut izmedu ta dva pravca se racuna na sljedeci nacin
tg(fi)=(k2-k1)/(1+k2k1)
tg(fi)=sqrt(3)
fi=60
1.Za vektore a, b i c vrijedi a +b +c = 0 i |a| = |b| = |c| = 1. Izracunajte a*b +b*c +c*a.
rijesenje
Znamo da ako za vektore a, b i c vrijedi a+b+c=0 da tada oni tvore trokut, a kako je |a|=|b|=|c|=1 očito je da oni tvore jednakostranični trokut, odnosno (a, b) =(b, c) =(c, a) = 120°.
Sada je jasno da je a*b + b*c + c*a = - 1/2 - 1/2 - 1/2 = - 3/2.
2.Napisite jedncinu tangente na parabolu y2 = 4x koja je paralelna s jednom od asimp-
tota hiperbole 9x2 ¡ 4y2 = 36.
rijesenje
Jednadžba parabole općenito y2=2px, pa iz y2=4x, slijedi p=2.
Iz jednadžbe hiperbole 9x2-4y2=36, slijedi da su joj jednadžbe asimptota (y1=b/ax i y2=-b/ax) u našem slučaju
y1=3/2x i y2=-3/2x, uzmemo li npr. tangentu koja će biti paralelna s asimptotom y1=3/2x, tada nam je koeficijent smjera tangente k=3/2.
Uvijet tangencijalnosti parabole glasi p=2kl, tj. 2=2*(3/2)*l, odatle l=2/3,
slijedi jednadžba tangente y=3/2x+2/3
3.Zadani su elipsa x2 + 4y2 = 4 te pravac y = x. Odredite jednacine tangenata
tangenata na elipsu u tackama sjecista pravca i elipse.
rijesenje
x2+4y2=4
y=x
x2+4x2=4
5x2=4
x=+-sqrt(4/5)
ako je tocka zadana, racunas po formuli
b2x1x+a2y1y=a2b2
kako je y=x, imas dva rjesenja, jedno kad su oba pozitivni, drugo kad nisu ... kad su negativna, oba
4.Odredite jednacine zajednickih tangenata kruznice x2 + y2 = 8 i hiperbole 5x2 − 9y2 = 180.
rijesnje
uvjet da pravac bude tangenta kruznice sa sredistem u ishodistu je
r2(1+k2)=l2
uvrstavanjem poznatih podataka imamo
8(1+k2)=l2
uvjet da pravac bude tangenta hiperbole je
a2k2-b2=l2
odnosno
36k2-20=l2
sad rjesavamo sustav, kako bi dobili k i l
8(1+k2)=36k2-20
k2=1
k1=1, k2=-1
8(1+k2)=l2
l2=16
l1=4, l2=-4
imamo dakle 4 rjesenja
y=x+4
y=x-4
y=-x+4
y=-x-4
5.Dokazite da je (a x b) * (c x d) = (a * c) * (b * d) - (b * c) * (a * d).
rijesenje
uradila sam...
koristila sam identitete
ax(bxc)=(a*c)*b-(a*b)*c
(axb)xc=(a*c)*b-(b*c)*a
ax(bxc)=[a,b,c]
(axb)*(cxd)=[a,b,cxd]=a*[bx(cxd)]=a*[(b*d)*c-(b*c)*d]=(a*c)*(b*d)-(a*d)*(b*c)
Added after 3 minutes
evo jos zadacica
Zadan je pravac p ...x-1/1=y-2/0=z-3/-1 i tacke A i B na pravcu p tako da trokut ABC, gdje je C(1, 4, 1), bude
jednakostranican.
rjesenje
rijesil sam
neka je i A(a1,b1,c1) B(a2,b2,c2)
iskoristi uslove AB=AC=BC. iz uslova da tacke A i B pripadaju pravcu , mozes dobiti sljedece jednacine.
a2-a1=1
b2-b1=0
c2-c1=-1
Dalje napravis sistem od 2 jednacine sa 2 nepoznata parametra a i b
d(AC)=d(BC)
d(AC)=d(AB)
koje kada se kvadriraju glase
(a+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-a+3-1)^2 = (b+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-b+3-1)^2
(a+1-1)^2 + (2-4)^2 + (-a+3-1)^2 = (a+1-b-1)^2 + (2-2)^2 + (-a+3+b-3)^2
odnosno
a^2 + 4 + a^2 - 4*a + 4 = b^2 + 4 + b^2 - 4*b + 4
a^2 + 4 + a^2 - 4*a + 4 = a^2 -2a*b + b^2 + 0 + a^2 -2a*b + b^2
odnosno
a^2 - 2*a = b^2 - 2*b
4 - 2*a =b^2 - 2*a*b
odnosno
(a-b)*(a+b-2)=0
4 - 2*a =b^2 - 2*a*b
a=b ne daje trugao (poklapale bi se tacke A i B), vec (a+b-2)=0 odnosno a=2-b sto zamenom u drugu jedanacinu daje
4-4+2*b = b^2 - 4*b + 2*b^2
odnosno
3*b^2-6*b=0
b=0 ili b=2
a=2 ili a=0
za (b=0, a=2) imamo A(3,2,1) a B(1,2,3)
za (b=2, a=0) imamo A(1,2,3) a B(3,2,1) sto je isto resenje.
Provera d(AB)=d(AC)=d(BC) = koren(
Added after 2 minutes:
Napisite jednacinu tangenata povucenih iz tacke(8,8) na kruznicu x2+y2=32, te
odredite kut medu njima.
tocka je bila 8,8 pretpostavljam....
uvjet da pravac bude tangenta na kruznicu sa sredistem u ishodistu je:
r2(1+k2)=l2
32(1+k2)=l2
tangenta je oblika y=kx+l, a kako prolazi tockom ( 8,8 ) mozemo te koordinate uvrstit....
8=8k+l
l=8-8k
to uvrstavamo gore...
nakon sredivanja dobivamo
k2-4k+1=0
k=2+-sqrt(3)
za k=2+sqrt(3), l= -8-8sqrt(3)
za k=2-sqrt(3), l= -8+8sqrt(3)
kut izmedu ta dva pravca se racuna na sljedeci nacin
tg(fi)=(k2-k1)/(1+k2k1)
tg(fi)=sqrt(3)
fi=60
|
