Trostruki integral

[Boris Davidovič]

Jedan tip zadataka koji mi nikako ne ispada točno (nije da ih još puno ima) :
Izračunati volumen tijela omeđenog s valjkom x^2+y^2=2ax i paraboloidom x^2+y^2=2az.
Evo postupka koji primjenjujem :
Nacrtam , vidim koji je to dio prostora.
Nađem točku presjeka (2a u ovom slučaju) i racunam integral od nula do 2a ,a pod integralom je povrsina koja se dobije kad se to tijelo presječe ravninom paralelnom sa xOy ravninom za fiksni z.
U ovom slučaju to su dvije kružnice koje se sijeku (do visine 2a uvijek, osim u nuli),pri čemu jedna (ona od valjka) dira ishodište,a središte joj je na x osi. U glavnom, tu prijeđem na polarne koordinate, pričemu mi drugi integral ide od radijusa veće kružnice do kraja manje (ovdje od sqrt(2az) do 2acos(fi)). Uglavnom uvijek fulam.
Ista stvar ako je riječ o stošcu.

Bio bih zahvalan ako netko može pomoći, jer je pismeni u ponedjeljak.

[Gost]

Trebas uzeti translatirane cilindricne koordinate (translatirane jer ishodiste ide kroz a). Dobijes trostruki integral: fi ide od 0 do 2pi, r ide od 0 do 1 (Jakobijan je ar), z ide od 0 do
1/2a(a^2+2a^2rcosfi+a^2r^2cos^2fi+a^2r^2sin^2fi).
Rezultat je 3/4a^3pi.
Sretno!

[Boris Davidovič]

Da, to je primjena teorema o zamjeni varijabli,
no mene bi baš zanimao pristup preko Fubinijevog teorema, jer onaj postupak koji radim nije netočan, a meni osobno(iako je u ovom slučaju teži) je intuitivniji.

U svakom slučaju hvala na pomoći.

[mea]

I=Integral[z=0..2a](povrsina "mjeseca" na visini z)

Povrsinu racunamo u polarnim koordinatama.
Cini mi se lakse ako uzmemo vanjski integral po r, a unutarnji po fi:

Integral[z=0..2a]
Integral[r=Sqrt(2az)..2a]
r * Integral[fi=-Arccos(r/2a)..+Arccos(r/2a)]

= Integral[z=0..2a](Integral[r=Sqrt(2az)..2a](2 r Arccos(r/2a))

= ... = 3 a^3 Pi / 8

Ako zelite prvo integrirati (unutarnji integral) po r, onda bi bilo nesto kao

Integral[z=0..2a]
Integral[fi=-Arccos(z/2a)..+Arccos(z/2a)]
Integral[r=Sqrt(2az)..2 a cos fi] (r)

No, cak ni Mathematica ovo nije uspjela izintegrirati.
Vasa je greska pretpostavljam u granicama za fi. interval za fi nije (-pi/2, pi/2).


Mea