Forum@DeGiorgi :: Pogledajte temu - JEDNO PITANJE IZ ANALIZE 2

Search
Engleski Open in this window (click to change)

Forum za podršku nastavi na PMF-MO

JEDNO PITANJE IZ ANALIZE 2
WWW:

Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2

Prethodna tema :: Sljedeća tema

Autor/ica

Poruka

glenda_north
Forumaš(ica)

Pridružen/a: 18. 11. 2003. (21:13:31)
Postovi: (2F)₁₆

Sarma	=	la pohva - posuda
0	=	0 - 0

Lokacija: NORTH

Postano: 15:49 sub, 31. 1. 2004 Naslov: JEDNO PITANJE IZ ANALIZE 2

Dokazati da za svaki x>=0 vrijedi ln(1+x)<=x Kako bi se to moglo dokazati? :roll: :?: Dokazati da za svaki x>=0 vrijedi ln(1+x)<=x Kako bi se to moglo dokazati? _________________ GLENDA_NORTH life is good and goodness lasts forever #butterfly

[Vrh]

veky
Forumaš(ica)

Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)₁₆

Sarma	=	la pohva - posuda
22	=	24 - 2

Lokacija: negdje daleko...

Postano: 18:38 sub, 31. 1. 2004 Naslov: Re: JEDNO PITANJE IZ ANALIZE 2

[quote="glenda_north"]Dokazati da za svaki x>=0 vrijedi
ln(1+x)<=x
Kako bi se to moglo dokazati? :roll: :?:[/quote]

Kao prvo, tvrdnja čak vrijedi za x>-1 (kad god ima smisla u |R ), butnevermind. Definirajmo funkciju f: |R^+_0->|R;x|->ln(1+x)-x (drugim riječima, f(x):=ln(1+x)-x , za x>=0 ). f(0)=(ln 1)-0=0 . Za vidjeti f<=0 (ono što ti trebaš dokazati), dovoljno je uočiti da je to zapravo tvrdnja x>=0 => f(x)<=f(0) , što će trivijalno slijediti ako dokažemo da je f padajuća. f je derivabilna na cijeloj svojoj domeni (multipozicija identitete, oduzimanja i kompozicije ln-a i pribrajanja jedinice), pa je za dokaz padajućosti dovoljno dokazati da je f'<=0 .
f'(x)=1/(1+x)-1=(1-(1+x))/(1+x)=-x/(1+x) , što je zaista nepozitivno za bilo koji nenegativni x (nazivnik je >=1 , dakle pozitivan). QED.

HTH,

glenda_north (napisa):

Dokazati da za svaki x>=0 vrijedi
ln(1+x)⇐x
Kako bi se to moglo dokazati? Rolling Eyes

Kao prvo, tvrdnja čak vrijedi za x>-1 (kad god ima smisla u |R ), butnevermind. Definirajmo funkciju f: |R^+_0→|R;x|→ln(1+x)-x (drugim riječima, f(x):=ln(1+x)-x , za x>=0 ). f(0)=(ln 1)-0=0 . Za vidjeti f⇐0 (ono što ti trebaš dokazati), dovoljno je uočiti da je to zapravo tvrdnja x>=0 ⇒ f(x)⇐f(0) , što će trivijalno slijediti ako dokažemo da je f padajuća. f je derivabilna na cijeloj svojoj domeni (multipozicija identitete, oduzimanja i kompozicije ln-a i pribrajanja jedinice), pa je za dokaz padajućosti dovoljno dokazati da je f'⇐0 .
f'(x)=1/(1+x)-1=(1-(1+x))/(1+x)=-x/(1+x) , što je zaista nepozitivno za bilo koji nenegativni x (nazivnik je >=1 , dakle pozitivan). QED.

HTH,

[Vrh]

Prethodni postovi:

	Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 1. godine, preddiplomski studij Matematika -> Matematička analiza 1 i 2	Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

Forum(o)Bir:

Ne možete otvarati nove teme.
Ne možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum