Search
 
 
  Engleski
 
 
 
Open in this window (click to change)
Forum@DeGiorgi: Početna
Forum za podršku nastavi na PMF-MO
Login Registracija FAQ Smajlići Članstvo Pretražnik Forum@DeGiorgi: Početna

Zadaci s operatorima (zadatak)
WWW:

Moja sarma
 
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori
Prethodna tema :: Sljedeća tema  
Autor/ica Poruka
orhideja
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 03. 12. 2003. (20:10:08)
Postovi: (1A)16
Sarma = la pohva - posuda
3 = 3 - 0
PostPostano: 14:32 uto, 24. 3. 2009    Naslov: Zadaci s operatorima Citirajte i odgovorite
Ak tko zna objasnit kak riješit ova dva zadatka bila bi zahvalna na pomoći.

1) Koliko najviše elem može imati spektar unitarnog operatora U iz L(V)(V je KDUP) td je operator U-I također unitaran

2) A iz L(R^n) antisimetričan operator. Dokažite da je tada operator Q=exp(A) rotacija, tj. da vrijedi (Q^T)Q=Q(Q^T)=I i det(Q)=1
(za ovaj zad je već netko pitao al nije bilo odgovora pa pitam ja ponovo u nadi da će ovaj put netko znati pomoći)

Unaprijed hvala na svakoj pomoći
Ak tko zna objasnit kak riješit ova dva zadatka bila bi zahvalna na pomoći.

1) Koliko najviše elem može imati spektar unitarnog operatora U iz L(V)(V je KDUP) td je operator U-I također unitaran

2) A iz L(R^n) antisimetričan operator. Dokažite da je tada operator Q=exp(A) rotacija, tj. da vrijedi (Q^T)Q=Q(Q^T)=I i det(Q)=1
(za ovaj zad je već netko pitao al nije bilo odgovora pa pitam ja ponovo u nadi da će ovaj put netko znati pomoći)

Unaprijed hvala na svakoj pomoći


[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Luuka
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 13. 02. 2007. (20:34:54)
Postovi: (925)16
Spol: muško
Sarma = la pohva - posuda
188 = 301 - 113
Lokacija: Hakuna Matata
PostPostano: 15:58 uto, 24. 3. 2009    Naslov: Re: Zadaci s operatorima Citirajte i odgovorite
[quote="orhideja"]
1) Koliko najviše elem može imati spektar unitarnog operatora U iz L(V)(V je KDUP) td je operator U-I također unitaran
[/quote]

U je unitaran pa |lambda|=1.
U-I unitar pa i |lambda -1| =1.

lambda=x+yi (općenito komplexan broj) pa ovo dvoje gore ustvari piše (|z|=sqrt(x^2 + y^2) ):

x^2+y^2=1
(x-1)^2 + y^2 =1

To su dvije kružnice, sa središtima u (0,0), tj (1,0) sa radijusom 1. Naš lambda mora bit i na jednoj i na drugoj, dakle dobri su samo oni koji se nalaze na sjecištima kružnica, a to su i & -i (jer se kružnice sijeku u (0,1) i (0,-1) )

Zaključak : U može imat maximalno 2 različite sv vrijednosti.

A ovaj drugi ne znam ovako napamet... :)
orhideja (napisa):

1) Koliko najviše elem može imati spektar unitarnog operatora U iz L(V)(V je KDUP) td je operator U-I također unitaran


U je unitaran pa |lambda|=1.
U-I unitar pa i |lambda -1| =1.

lambda=x+yi (općenito komplexan broj) pa ovo dvoje gore ustvari piše (|z|=sqrt(x^2 + y^2) ):

x^2+y^2=1
(x-1)^2 + y^2 =1

To su dvije kružnice, sa središtima u (0,0), tj (1,0) sa radijusom 1. Naš lambda mora bit i na jednoj i na drugoj, dakle dobri su samo oni koji se nalaze na sjecištima kružnica, a to su i & -i (jer se kružnice sijeku u (0,1) i (0,-1) )

Zaključak : U može imat maximalno 2 različite sv vrijednosti.

A ovaj drugi ne znam ovako napamet... Smile



_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy Very Happy
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
goranm
Forumaš(ica)
Forumaš(ica)


Pridružen/a: 12. 11. 2002. (20:09:12)
Postovi: (906)16
Spol: kućni ljubimac
Sarma = la pohva - posuda
218 = 249 - 31
PostPostano: 16:50 uto, 24. 3. 2009    Naslov: Citirajte i odgovorite
Kako je [latex]A=-A^\tau[/latex], tada je [latex]tr(A)=tr(-A^\tau)=-tr(A^\tau)=-tr(A)[/latex], odnosno [latex]tr(A)=0[/latex].

Sada je [latex]\det{Q}=\det{(e^A)}=e^{tr(A)}=e^0=1.[/latex]

Za ostatak mi pada napamet raspisati [latex]e^A[/latex] kao

[latex]e^A=\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{1}{n!}A^n[/latex].

Sada je [latex](e^A)^\tau=(\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{1}{n!}A^n)^\tau=\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{1}{n!}(A^\tau)^n=\sum_{n\in\mathbb{N}_0}\frac{(-1)^n}{n!}A^n[/latex].

Izmnožimo [latex]e^A[/latex] i [latex](e^A)^\tau[/latex], umnožak možemo pisat u tablicu

[latex]
\begin{array}{ccccc}
I & -A & +\frac{1}{2}A^2 & -\frac{1}{6}A^3 & +\dots\\
& +A & -A^2 & +\frac{1}{2}A^3 & +\dots \\
& & +\frac{1}{2}A^2 & -\frac{1}{2}A^3 & +\dots\\
& & & +\frac{1}{6}A^3 & +\dots\\
\end{array}
[/latex]

"Vidimo" da će se sve skoro pa sve pokratiti i ostati će samo I.
Kako je , tada je , odnosno .

Sada je

Za ostatak mi pada napamet raspisati kao

.

Sada je .

Izmnožimo i , umnožak možemo pisat u tablicu



"Vidimo" da će se sve skoro pa sve pokratiti i ostati će samo I.



_________________
The Dude Abides
[Vrh]
Korisnički profil Pošaljite privatnu poruku Pošaljite e-mail
Prethodni postovi:   
Započnite novu temu   Odgovorite na temu   printer-friendly view    Forum@DeGiorgi: Početna -> Kolegiji 3. godine -> Vektorski prostori Vremenska zona: GMT + 01:00.
Stranica 1 / 1.

 
Forum(o)Bir:  
Možete otvarati nove teme.
Možete odgovarati na postove.
Ne možete uređivati Vaše postove.
Ne možete izbrisati Vaše postove.
Ne možete glasovati u anketama.
You can attach files in this forum
You can download files in this forum


Powered by phpBB © 2001, 2002 phpBB Group
Theme created by Vjacheslav Trushkin
HR (Cro) by Ančica Sečan