uvjeti da je operator unitaran

[tidus]

Može li mi netko napisati kada je sve operator unitaran?

[Gino]

po definiciji
<Ax|Ay>=<x|y>
a to je ekvivalentno sa:
||Ax||=||x||
odnosno sa
A*=A^(-1)
mislim da je to to

_________________
Mario Berljafa

[Milojko]

ak preslikava ortonormirani skup u ortonormirani skup
ak preslikava jedinični vektor u jedinični vektor (vektor norme 1)

_________________
Sedam je prost broj

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat

[tidus]

Kako iz A*=A^-1 slijedi da ja A unitaran?
Isto pitanje i za slučaj da A preslikava jedinični u jedinični vektor?

[Gino]

a je unitaran ako je <Ax|Ay>=<x|y>
<Ax|Ay>=<x|A*Ay>=<x|A^(-1)Ay>=<x|y>

ono za jedinicne slijedi iz ||Ax||=||x||, a to se dokaze ovako
jedan smjer je trivijalan
drugi cu dokazat koristeci polarizacijsku forulu nad R, za C je analogno uz malo vise od duplo pisanja
||Ax||=||x|| za sve x, ovo kvadriras pa imas <Ax|Ax>=<x|x>

4<Ax|Ay>=<Ax+Ay|Ax+Ay>-<Ax-Ay|Ax-Ay>=<A(x+y)|A(x+y)>-<A(x-y)|A(x-y)>=<x+y|x+y>-<x-y|x-y>=4<x|y>

_________________
Mario Berljafa

[Milojko]

prvo ovaj da preslikava jedinični u jedinični.
f je proizvoljan linearni operator takav da svaki jediničniv vektor preslikava u jedinični vektor. neka je a iz U proizvoljan vektor. a_0 neka je normirani vektor kolinearan vektoru a => || f(a)|| = ||f(||a||*a_0)||=||a||*||f(a_0)||= ||a||*1 = ||a|| pa je f unitaran operator jer čuva normu.
za ovo sa inverzom i adjungiranjem nisam sad točno siguran. al probaj raspisat šta se dobije na i, j-tom mjestu njihova produkta. mislim da se dobije suma modula koordinata na kvadrat (alfa_i,k*alfa_i,k(potez)).

_________________
Sedam je prost broj

Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat