| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
LSSD
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (19:11:16)
Postovi: (CB)16
Lokacija: SD CN
|
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
 Postano: 22:47 pon, 31. 1. 2005 Naslov: Re: Treba mi POD HITNO pomoc oko jednog malog dokaza! |
    |
|
|
[quote="LSSD"]Zna li neko kako dokazati da je a^q1=a^q2, gdje su g1 i g2 dva racionalan broja za koja vrijedi da je q1=q2. Treba koristiti tvrdnju koja vrijedi za cijele brojeve da je
a^(z1+z2)=a^z1 * a^z2,
i da je a^q=(a^(1/n)^m, gdje je q racionalan broj koji je jednak m/n.
(ono sto stoji iza znaka ^ znaci da je eksponent )
Unaprijed hvala:)[/quote]
:zbunj: :sillyroll:
Ovo bi moglo biti najnepreciznije postavljeno pitanje u povijesti Foruma :lol: Ajde pls napisi sto tocno treba dokazati. Ako dobro citam misli, hoces formulu a^(z1+z2)=a^z1 * a^z2 za racionalne eksponente :?:
:noidea: Ili zelis dokazati da je potenciranje s racionalnim eksponentom dobro definirano, tj. neovisno o izboru predstavnika (eksponenta)?
| LSSD (napisa): | Zna li neko kako dokazati da je a^q1=a^q2, gdje su g1 i g2 dva racionalan broja za koja vrijedi da je q1=q2. Treba koristiti tvrdnju koja vrijedi za cijele brojeve da je
a^(z1+z2)=a^z1 * a^z2,
i da je a^q=(a^(1/n)^m, gdje je q racionalan broj koji je jednak m/n.
(ono sto stoji iza znaka ^ znaci da je eksponent )
Unaprijed hvala:) |
 
Ovo bi moglo biti najnepreciznije postavljeno pitanje u povijesti Foruma  Ajde pls napisi sto tocno treba dokazati. Ako dobro citam misli, hoces formulu a^(z1+z2)=a^z1 * a^z2 za racionalne eksponente 
 Ili zelis dokazati da je potenciranje s racionalnim eksponentom dobro definirano, tj. neovisno o izboru predstavnika (eksponenta)?
_________________
Vedran Krcadinac
Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 23:06 pon, 31. 1. 2005 Naslov: Re: Treba mi POD HITNO pomoc oko jednog malog dokaza! |
|
|
|
[quote="krcko"] :noidea: Ili zelis dokazati da je potenciranje s racionalnim eksponentom dobro definirano, tj. neovisno o izboru predstavnika (eksponenta)?[/quote]
To. Bar ako je suditi po mailovima kakve ja u zadnje vrijeme dobivam. ;-)
Evo izrezak iz jednog takvog maila:
[quote="Veky u mailu"]
> definicija dobra, tj.da ne ovisi o izboru pedstavnika ( m/n = o/p =>
> (a^1/n)^m = (a^p)^o ) ; ovo nam je napisao jo¹ na ploèu....& rekao da
> pravila doka¾emo..
Eh, to već ima smisla. Kao što gore napisah, to je situacija kad se
nešto definira s razlomcima, koji su klase ekvivalencije, preko
reprezentanata. Treba onda vidjeti da m*p=n*o =>
(a^(1/n))^m=(a^(1/p))^o ... no za to nam trebaju definicije što znači
a^(1/z) za prirodni z (bar za pozitivne a ). Recimo (vjerojatno ste
tako i vi radili) da je to neki (lako se pokaže da je jedinstven, a
egzistencija malo teže) pozitivan broj b takav da b^z bude a .
So, označimo b:=a^(1/n) & c:=a^(1/p) . Imamo dakle b^n=c^p=a , i još
m*p=n*o , i trebamo dokazati b^m=c^o . Po II. pravilu gore navedenom
(i dokazanom za domaću zadaću:)
(b^m)^p=b^(m*p)=b^(n*o)=(b^n)^o=a^o=(c^p)^o=c^(p*o)=c^(o*p)=(c^o)^p .
Sad imamo (b^m)^p=(c^o)^p . Lako se vidi iz činjenice da su b i c
pozitivni, da su i b^m i c^o također pozitivni, a funkcija x|->x^p na
|R^+ je strogo rastuća (indukcijom po p , p je prirodan broj), pa je
injekcija. Dakle iz gornjeg slijedi b^m=c^o , pa je a^razlomak dobro
definiran. :-)[/quote]
[color=darkblue]Ideja za bolji Subject: potenciranje razlomkom ne ovisi o izboru reprezentanta (dokaz).[/color]
[color=blue]Mod edit: uvazeno. Zadnja rijec nije stala zbog ogranicenja duljine subjecta.[/color]
| krcko (napisa): | | Ili zelis dokazati da je potenciranje s racionalnim eksponentom dobro definirano, tj. neovisno o izboru predstavnika (eksponenta)? |
To. Bar ako je suditi po mailovima kakve ja u zadnje vrijeme dobivam. 
Evo izrezak iz jednog takvog maila:
| Veky u mailu (napisa): |
> definicija dobra, tj.da ne ovisi o izboru pedstavnika ( m/n = o/p ⇒
> (a^1/n)^m = (a^p)^o ) ; ovo nam je napisao jo¹ na ploèu....& rekao da
> pravila doka¾emo..
Eh, to već ima smisla. Kao što gore napisah, to je situacija kad se
nešto definira s razlomcima, koji su klase ekvivalencije, preko
reprezentanata. Treba onda vidjeti da m*p=n*o ⇒
(a^(1/n))^m=(a^(1/p))^o ... no za to nam trebaju definicije što znači
a^(1/z) za prirodni z (bar za pozitivne a ). Recimo (vjerojatno ste
tako i vi radili) da je to neki (lako se pokaže da je jedinstven, a
egzistencija malo teže) pozitivan broj b takav da b^z bude a .
So, označimo b:=a^(1/n) & c:=a^(1/p) . Imamo dakle b^n=c^p=a , i još
m*p=n*o , i trebamo dokazati b^m=c^o . Po II. pravilu gore navedenom
(i dokazanom za domaću zadaću
(b^m)^p=b^(m*p)=b^(n*o)=(b^n)^o=a^o=(c^p)^o=c^(p*o)=c^(o*p)=(c^o)^p .
Sad imamo (b^m)^p=(c^o)^p . Lako se vidi iz činjenice da su b i c
pozitivni, da su i b^m i c^o također pozitivni, a funkcija x|→x^p na
|R^+ je strogo rastuća (indukcijom po p , p je prirodan broj), pa je
injekcija. Dakle iz gornjeg slijedi b^m=c^o , pa je a^razlomak dobro
definiran. |
Ideja za bolji Subject: potenciranje razlomkom ne ovisi o izboru reprezentanta (dokaz).
Mod edit: uvazeno. Zadnja rijec nije stala zbog ogranicenja duljine subjecta.
|
|
| [Vrh] |
|
Meri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2004. (14:48:32)
Postovi: (155)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb, Zaaaaagreb...tararam...
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
Meri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2004. (14:48:32)
Postovi: (155)16
Spol:
Lokacija: Zagreb, Zaaaaagreb...tararam...
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
Meri
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2004. (14:48:32)
Postovi: (155)16
Spol:
Lokacija: Zagreb, Zaaaaagreb...tararam...
|
|
| [Vrh] |
|
LSSD
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 01. 2005. (19:11:16)
Postovi: (CB)16
Lokacija: SD CN
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 16:01 sri, 2. 2. 2005 Naslov: |
|
|
|
[quote="LSSD"]Da li mi smijemo kod ovog dokaza koristiti da je (a^(1/n))n = a? Nama je profesor rekao da koristimo samo cinjenicu da nam vrijede svojstva za cijele brojeve i to bi trebalo biti sve. Da li postoji neki drugi nacin kako bi se ovo dokazalo?[/quote]
Hm... ponavljam:
[quote="veky"]...no za to nam trebaju definicije što znači
a^(1/z) za prirodni z (bar za pozitivne a ). Recimo (vjerojatno ste
tako i vi radili) da je to neki (lako se pokaže da je jedinstven, a
egzistencija malo teže) pozitivan broj b takav da b^z bude a .
So, označimo b:=a^(1/n) & c:=a^(1/p) . Imamo dakle b^n=c^p=a ...[/quote]
Dakle, što se mene tiče, zasad, (a^(1/n))^n=a po definiciji od a^(1/n) . Ako to nije definicija, no problem, ali mi onda reci što jest. Nekako moraš definirati što ti znači a^(1/n) .
[quote]Interesira me da li znamo da je (m1*n2)/(n1*n2)=m1/n1? DA li ovo mozemo koristiti kod ovog dokaza(kao poznatu cinjenicu )?[/quote]
Znamo, naravno. Dva razlomka a/b i c/d su jednaka (opet, po definiciji razlomaka) ako je a*d=b*c . A definitivno m1*n2*n1=n1*n2*m1 po asocijativnosti i komutativnosti množenja za cijele brojeve.
No to nije bitno ovdje... radi se o tome da se treba dokazati da _ako_ su dva razlomka jednaka, _onda_, kad se njihovi "brojnici" i "nazivnici" uvrste u onu formulu za a^razlomak, da se dobije isto. Inače, nije uopće istina da jednaki razlomci moraju biti jedan proširenje drugog.
Istina, razlomci imaju kanonsku formu (skraćeni do kraja, odnosno brojnik i nazivnik relativno prosti), no to je teže za dokazati nego ovo gore. :-)
Jedna stvar koju sam ostao dužan, dakle pravilo " (a^x)^y=a^(x*y) " za pozitivne a , i cijele x i y .
1@) x i y su pozitivni, dakle prirodni. Tada (a^x)^y=(a*a*...*a)^y=(a*...*a)*(a*...*a)*...*(a*...*a) , gdje svaka od zagradâ ima x a-ova, a tih zagradâ ima y . Dakle, ukupno imam x*y a-ova, pa je to jednako a^(x*y) .
2@) x je negativan, a y pozitivan. Tada je y@|N , a -x je pozitivan, pa je i on prirodan. Po 1@, znamo da vrijedi (ž^(-x))^y=ž^((-x)*y) . To iskoristimo za ž:=1/a , ovako:
(a^x)^y=((1/a)^(-x))^y=(1/a)^((-x)*y)=a^-((-x)*y)=a^(x*y) .
3@) x>0 , y<0 . Tada su x i -y prirodni, pa za njih imamo 1@, što iskoristimo slično kao gore:
(a^x)^y=(1/a^x)^-y=(*)
=((1/a)^x)^-y=(1/a)^(x*(-y))=a^-(x*(-y))=a^(x*y) .
[*] Da je 1/a^x isto što i (1/a)^x , bar za prirodne x , lako se vidi množenjem razlomaka. (1/a)^x=(1/a)*(1/a)*...*(1/a)=(1*1*...*1)/(a*...*a)=1/a^n .
4@) x<0 , y<0 . Tada
(a^x)^y=(1/a^-x)^y=1/(1/a^-x)^-y=(1/(1/a^-x))^-y=(a^-x)^-y=
=a^((-x)*(-y))=a^(x*y)
5@) x=0 . Tada (a^x)^y=1^y=1=a^0=a^(x*y)
Da je 1^y=1 lako se vidi u sva tri slučaja y>=<0 .
6@) y=0 . Tada (a^x)^y=(a^x)^0=1=a^0=a^(x*y) .
Naravno, da bi sve to imalo smisla, treba vidjeti da se a^x može potencirati y-om pomoću gornjih pravilâ, odnosno da je a^x također pozitivan. No to slijedi iz činjenice da je
*produkt pozitivnih brojeva pozitivan
*1 je pozitivan broj
*recipročna vrijednost pozitivnog broja je pozitivan broj
. QED.
| LSSD (napisa): | | Da li mi smijemo kod ovog dokaza koristiti da je (a^(1/n))n = a? Nama je profesor rekao da koristimo samo cinjenicu da nam vrijede svojstva za cijele brojeve i to bi trebalo biti sve. Da li postoji neki drugi nacin kako bi se ovo dokazalo? |
Hm... ponavljam:
| veky (napisa): | ...no za to nam trebaju definicije što znači
a^(1/z) za prirodni z (bar za pozitivne a ). Recimo (vjerojatno ste
tako i vi radili) da je to neki (lako se pokaže da je jedinstven, a
egzistencija malo teže) pozitivan broj b takav da b^z bude a .
So, označimo b:=a^(1/n) & c:=a^(1/p) . Imamo dakle b^n=c^p=a ... |
Dakle, što se mene tiče, zasad, (a^(1/n))^n=a po definiciji od a^(1/n) . Ako to nije definicija, no problem, ali mi onda reci što jest. Nekako moraš definirati što ti znači a^(1/n) .
| Citat: | | Interesira me da li znamo da je (m1*n2)/(n1*n2)=m1/n1? DA li ovo mozemo koristiti kod ovog dokaza(kao poznatu cinjenicu )? |
Znamo, naravno. Dva razlomka a/b i c/d su jednaka (opet, po definiciji razlomaka) ako je a*d=b*c . A definitivno m1*n2*n1=n1*n2*m1 po asocijativnosti i komutativnosti množenja za cijele brojeve.
No to nije bitno ovdje... radi se o tome da se treba dokazati da _ako_ su dva razlomka jednaka, _onda_, kad se njihovi "brojnici" i "nazivnici" uvrste u onu formulu za a^razlomak, da se dobije isto. Inače, nije uopće istina da jednaki razlomci moraju biti jedan proširenje drugog.
Istina, razlomci imaju kanonsku formu (skraćeni do kraja, odnosno brojnik i nazivnik relativno prosti), no to je teže za dokazati nego ovo gore.
Jedna stvar koju sam ostao dužan, dakle pravilo " (a^x)^y=a^(x*y) " za pozitivne a , i cijele x i y .
1@) x i y su pozitivni, dakle prirodni. Tada (a^x)^y=(a*a*...*a)^y=(a*...*a)*(a*...*a)*...*(a*...*a) , gdje svaka od zagradâ ima x a-ova, a tih zagradâ ima y . Dakle, ukupno imam x*y a-ova, pa je to jednako a^(x*y) .
2@) x je negativan, a y pozitivan. Tada je y@|N , a -x je pozitivan, pa je i on prirodan. Po 1@, znamo da vrijedi (ž^(-x))^y=ž^((-x)*y) . To iskoristimo za ž:=1/a , ovako:
(a^x)^y=((1/a)^(-x))^y=(1/a)^((-x)*y)=a^-((-x)*y)=a^(x*y) .
3@) x>0 , y<0 . Tada su x i -y prirodni, pa za njih imamo 1@, što iskoristimo slično kao gore:
(a^x)^y=(1/a^x)^-y=(*)
=((1/a)^x)^-y=(1/a)^(x*(-y))=a^-(x*(-y))=a^(x*y) .
[*] Da je 1/a^x isto što i (1/a)^x , bar za prirodne x , lako se vidi množenjem razlomaka. (1/a)^x=(1/a)*(1/a)*...*(1/a)=(1*1*...*1)/(a*...*a)=1/a^n .
4@) x<0 , y<0 . Tada
(a^x)^y=(1/a^-x)^y=1/(1/a^-x)^-y=(1/(1/a^-x))^-y=(a^-x)^-y=
=a^((-x)*(-y))=a^(x*y)
5@) x=0 . Tada (a^x)^y=1^y=1=a^0=a^(x*y)
Da je 1^y=1 lako se vidi u sva tri slučaja y>=<0 .
6@) y=0 . Tada (a^x)^y=(a^x)^0=1=a^0=a^(x*y) .
Naravno, da bi sve to imalo smisla, treba vidjeti da se a^x može potencirati y-om pomoću gornjih pravilâ, odnosno da je a^x također pozitivan. No to slijedi iz činjenice da je
*produkt pozitivnih brojeva pozitivan
*1 je pozitivan broj
*recipročna vrijednost pozitivnog broja je pozitivan broj
. QED.
|
|
| [Vrh] |
|
|
Repetitio est mater studiorum. & meni bi stvarno bio gušt objašnjavati stvari ljudima (naravno, onima koji žele slušati) 