|
Također nisam baš shvatio tu lemu i njenu primjenu u dokazu, pa odlučih koristiti malo drugačiju tvrdnju.
Mislim na tvrdnju da je fja. konveksna akko za svaki x < z < y vrijedi [latex]\dfrac{f(z) - f(x)}{z - x} \leq \dfrac{f(y) - f(z)}{y - z}[/latex] (*). Nije ju teško dokazati, izrazi se f(z) i dobije se ono što se traži.
Dokažimo sad tm. koristeći tvrdnju (*).
[latex](\Rightarrow)[/latex] Uzmimo 4 točke x < z < y < w. Dvaput primjenjujući (*) (redom za trojke (x,z,y) i (z,y,w)), dobivamo [latex]\dfrac{f(z) - f(x)}{z - x} \leq \dfrac{f(y) - f(z)}{y - z} \leq \dfrac{f(w) - f(y)}{w - y}[/latex]. Nastavimo kao i na predavanju.
[latex](\Leftarrow)[/latex] Odaberimo tri proizvoljne točke x < z < y. Po Lagrageovom tm. srednje vrijednosti slijedi da postoje točke [latex]c \in \langle x, z \rangle[/latex] i [latex]d \in \langle z, y \rangle[/latex] takve da vrijedi [latex]f'(c) = \dfrac{f(z) - f(x)}{z - x}[/latex] i [latex]f'(d) = \dfrac{f(y) - f(z)}{y - z}[/latex]. Kako je f'' nenegativna, slijedi da je f' rastuća, posebno [latex]f'(c) \leq f'(d)[/latex], tj. [latex]\dfrac{f(z) - f(x)}{z - x} \leq \dfrac{f(y) - f(z)}{y - z}[/latex]. Po tvrdnji (*) slijedi da je f konveksna.
Također nisam baš shvatio tu lemu i njenu primjenu u dokazu, pa odlučih koristiti malo drugačiju tvrdnju.
Mislim na tvrdnju da je fja. konveksna akko za svaki x < z < y vrijedi  (*). Nije ju teško dokazati, izrazi se f(z) i dobije se ono što se traži.
Dokažimo sad tm. koristeći tvrdnju (*).
 Uzmimo 4 točke x < z < y < w. Dvaput primjenjujući (*) (redom za trojke (x,z,y) i (z,y,w)), dobivamo  . Nastavimo kao i na predavanju.
 Odaberimo tri proizvoljne točke x < z < y. Po Lagrageovom tm. srednje vrijednosti slijedi da postoje točke  i  takve da vrijedi  i  . Kako je f'' nenegativna, slijedi da je f' rastuća, posebno  , tj. . Po tvrdnji (*) slijedi da je f konveksna.
|
