|
Da, pretpostavljam da bismo to mogli zvati mnogostrukost algebri, no nisam siguran koji je točan hrvatski naziv.
Napomena: Post koji slijedi je ispao nešto duži nego što sam planirao. Jedan od razloga zašto sam ga napisao je da i sebi posložim neke stvari u glavi. Kako ne bih uplašio ljude koji slučajno nabasaju na ovo, reći ću samo da ovo što slijedi [i]nije[/i] dio gradiva kolegija Algebarskih struktura. Ako ipak netko želi pročitati i shvatiti napisano, za neke pojmove vjerojatno će morati pogledati [url=http://vedgar.googlepages.com/Logika_skipta.pdf]skriptu[/url] prof. Vukovića iz Matematičke logike. I još, kad kažem [i]klasa[/i], mislim na pravu klasu, ne nužno skup.
@Grga: Ono što te možda zbunjuje je sama riječ [i]algebra[/i] koja u ovom kontekstu zapravo znači [i]algebarska struktura[/i]. Dakle, bilo kakav skup (nosač) zajedno s proizvoljnim skupom operacija. Formalna definicija:
[b]D1. (Signatura)[/b] [i]Signatura[/i] je uređen par [latex]\mathcal{F}=(F,\rho)[/latex], pri čemu je [latex]F[/latex] neprazan skup [i]funkcijskih simbola[/i], a [latex]\rho\colon F\to\mathbb{N}[/latex] funkcija koja svakom funkcijskom simbolu [latex]f[/latex] pridružuje [i]mjesnost[/i]---broj argumenata na koje se [latex]f[/latex] može primijeniti. Nul-mjesne funkcijske simbole zovemo [i]konstantski simboli[/i].
[b]D2. (Algebra)[/b] Neka je [latex]\mathcal{F}[/latex] signatura. [i]Algebra[/i] signature [latex]\mathcal{F}[/latex] je uređen par [latex]\mathcal{A}=(A,I)[/latex], pri čemu je [latex]A[/latex] neprazan skup (nosač), a [latex]I[/latex] je funkcija (interpretacija) koja svakom funkcijskom simbolu [latex]f[/latex] mjesnosti [latex]n[/latex] pridružuje funkciju (operaciju) [latex]f_\mathcal{A}[/latex] s [latex]A^n[/latex] u [latex]A[/latex].
To je znači precizna definicija onog što zovemo algebarskom strukturom. Grana matematike koja proučava općenite algebarske strukture se zove univerzalna algebra.
Sad bismo mogli definirati homomorfizme i izomorfizme algebri s istom signaturom, a onda i homomorfne slike: algebra [latex]\mathcal{B}[/latex] je homomorfna slika algebre [latex]\mathcal{A}[/latex] ako postoji [i]surjektivni[/i] homomorfizam s [latex]\mathcal{A}[/latex] na [latex]\mathcal{B}[/latex]. Ako imamo klasu [latex]\mathsf{C}[/latex] algebri neke signature, s [latex]\mathbf{H}\mathsf{C}[/latex] označavamo klasu svih homomorfnih slika algebri iz [latex]\mathsf{C}[/latex].
Nadalje, mogli bismo definirati podalgebru neke algebre (tu bi bila bitna zatvorenost na sve operacije). Sa [latex]\mathbf{S}\mathsf{C}[/latex] bismo označili klasu izomorfnih kopija podalgebri svih algebri iz [latex]\mathsf{C}[/latex].
I na kraju, definirali bismo produkt familije algebri [latex](\mathcal{A}_i)_{i\in I}[/latex] kao algebru čiji je nosač Kartezijev produkt skupova [latex]\mathcal{A}_i[/latex], a operacije su definirane po komponentama. S [latex]\mathbf{P}\mathsf{C}[/latex] bismo označili klasu izomorfnih kopija produkata algebri iz [latex]\mathsf{C}[/latex].
Kad imamo sve to, možemo definirati mnogostrukost algebri:
[b]D3. (Mnogostrukost)[/b] Klasa algebri iste signature je [i]mnogostrukost[/i] ako je zatvorena na podalgebre, homomorfne slike i produkte. Za klasu [latex]\mathsf{C}[/latex] s [latex]\mathbb{V}\mathsf{C}[/latex] označimo najmanju mnogostrukost koja sadrži [latex]\mathsf{C}[/latex], tj. mnogostrukost generiranu klasom [latex]\mathsf{C}[/latex].
Jedan od poznatih rezultata iz ovog područja je [latex]\mathbb{V}\mathsf{C}=\mathbf{HSP}\mathsf{C}[/latex]. Dakle, mnogostrukost generiranu klasom [latex]\mathsf{C}[/latex] dobijemo tako da uzmemo zatvorenje klase [latex]\mathsf{C}[/latex] na produkte, zatim uzmemo zatvorenje dobivene klase na podalgebre te na kraju zatvorenje svega na homomorfne slike.
E sad, daljnja priča bi bila o nečem što se zove algebarska teorija modela. Naime, ako krenemo od signature [latex]\mathcal{F}[/latex] i skupa varijabli [latex]X[/latex], mogli bismo induktivno definirati pojam [i]terma[/i] kao i u kolegiju Matematička logika. Dalje bismo definirali [i]jednadžbu[/i] kao izraz [latex]s\approx t[/latex], pri čemu su [latex]s[/latex] i [latex]t[/latex] termi.
Kad imamo sintaksu (terme i jednadžbe), algebarsku semantiku dobijemo tako da [i]valuiramo[/i] terme u algebrama odgovarajuće signature. Dakle, induktivno bismo definirali [i]valuaciju[/i] kao funkciju [latex]\theta[/latex] sa skupa svih terma u nosač algebre [latex]\mathcal{A}[/latex]. Tad bismo rekli da je jednadžba [latex]s\approx t[/latex] [i]istinita[/i], ili da [i]vrijedi[/i] u [latex]\mathcal{A}[/latex] ako za sve valuacije [latex]\theta[/latex] vrijedi [latex]\theta(s)=\theta(t)[/latex]. Algebru [latex]\mathcal{A}[/latex] zovemo [i]modelom[/i] za [latex]s\approx t[/latex] ako je [latex]s\approx t[/latex] istinita u [latex]\mathcal{A}[/latex].
[b]D4. (Definabilne klase)[/b] Kažemo da je klasa [latex]\mathsf{C}[/latex] algebri iste signature [i]definabilna jednadžbama[/i] ako postoji skup jednadžbi [latex]E[/latex] takav da [latex]\mathsf{C}[/latex] sadrži sve modele svih jednadžbi iz [latex]E[/latex], i samo njih.
Primjer definabilne klase je npr. klasa svih grupa, pri čemu grupu promatramo kao algebru signature [latex]\{\cdot,{}^{-1},\mathbf{e}\}[/latex] (prvo je dvomjesni, drugo jednomjesni funkcijski, a treće nul-mjesni, tj. konstantski simbol). Skup jednadžbi koji definira klasu svih grupa je [latex]\{x\cdot (y\cdot z)\approx (x\cdot y)\cdot z, x\cdot \mathbf{e}\approx x, x\cdot x^{-1}\approx \mathbf{e}\}[/latex].
I da zaključim, slijedi osnovni rezultat iz ovog područja, tzv. Birkhoffov teorem:
[b]T. (Birkhoff)[/b] Klasa algebri iste signature je definabilna jednadžbama ako i samo ako je mnogostrukost.
Da, pretpostavljam da bismo to mogli zvati mnogostrukost algebri, no nisam siguran koji je točan hrvatski naziv.
Napomena: Post koji slijedi je ispao nešto duži nego što sam planirao. Jedan od razloga zašto sam ga napisao je da i sebi posložim neke stvari u glavi. Kako ne bih uplašio ljude koji slučajno nabasaju na ovo, reći ću samo da ovo što slijedi nije dio gradiva kolegija Algebarskih struktura. Ako ipak netko želi pročitati i shvatiti napisano, za neke pojmove vjerojatno će morati pogledati skriptu prof. Vukovića iz Matematičke logike. I još, kad kažem klasa, mislim na pravu klasu, ne nužno skup.
@Grga: Ono što te možda zbunjuje je sama riječ algebra koja u ovom kontekstu zapravo znači algebarska struktura. Dakle, bilo kakav skup (nosač) zajedno s proizvoljnim skupom operacija. Formalna definicija:
D1. (Signatura) Signatura je uređen par  , pri čemu je  neprazan skup funkcijskih simbola, a  funkcija koja svakom funkcijskom simbolu  pridružuje mjesnost—broj argumenata na koje se može primijeniti. Nul-mjesne funkcijske simbole zovemo konstantski simboli.
D2. (Algebra) Neka je  signatura. Algebra signature je uređen par  , pri čemu je  neprazan skup (nosač), a  je funkcija (interpretacija) koja svakom funkcijskom simbolu mjesnosti  pridružuje funkciju (operaciju)  s  u .
To je znači precizna definicija onog što zovemo algebarskom strukturom. Grana matematike koja proučava općenite algebarske strukture se zove univerzalna algebra.
Sad bismo mogli definirati homomorfizme i izomorfizme algebri s istom signaturom, a onda i homomorfne slike: algebra  je homomorfna slika algebre  ako postoji surjektivni homomorfizam s na . Ako imamo klasu  algebri neke signature, s  označavamo klasu svih homomorfnih slika algebri iz .
Nadalje, mogli bismo definirati podalgebru neke algebre (tu bi bila bitna zatvorenost na sve operacije). Sa  bismo označili klasu izomorfnih kopija podalgebri svih algebri iz .
I na kraju, definirali bismo produkt familije algebri  kao algebru čiji je nosač Kartezijev produkt skupova  , a operacije su definirane po komponentama. S  bismo označili klasu izomorfnih kopija produkata algebri iz .
Kad imamo sve to, možemo definirati mnogostrukost algebri:
D3. (Mnogostrukost) Klasa algebri iste signature je mnogostrukost ako je zatvorena na podalgebre, homomorfne slike i produkte. Za klasu s  označimo najmanju mnogostrukost koja sadrži , tj. mnogostrukost generiranu klasom .
Jedan od poznatih rezultata iz ovog područja je  . Dakle, mnogostrukost generiranu klasom dobijemo tako da uzmemo zatvorenje klase na produkte, zatim uzmemo zatvorenje dobivene klase na podalgebre te na kraju zatvorenje svega na homomorfne slike.
E sad, daljnja priča bi bila o nečem što se zove algebarska teorija modela. Naime, ako krenemo od signature i skupa varijabli  , mogli bismo induktivno definirati pojam terma kao i u kolegiju Matematička logika. Dalje bismo definirali jednadžbu kao izraz  , pri čemu su  i  termi.
Kad imamo sintaksu (terme i jednadžbe), algebarsku semantiku dobijemo tako da valuiramo terme u algebrama odgovarajuće signature. Dakle, induktivno bismo definirali valuaciju kao funkciju  sa skupa svih terma u nosač algebre . Tad bismo rekli da je jednadžba istinita, ili da vrijedi u ako za sve valuacije vrijedi  . Algebru zovemo modelom za ako je istinita u .
D4. (Definabilne klase) Kažemo da je klasa algebri iste signature definabilna jednadžbama ako postoji skup jednadžbi  takav da sadrži sve modele svih jednadžbi iz , i samo njih.
Primjer definabilne klase je npr. klasa svih grupa, pri čemu grupu promatramo kao algebru signature  (prvo je dvomjesni, drugo jednomjesni funkcijski, a treće nul-mjesni, tj. konstantski simbol). Skup jednadžbi koji definira klasu svih grupa je  .
I da zaključim, slijedi osnovni rezultat iz ovog područja, tzv. Birkhoffov teorem:
T. (Birkhoff) Klasa algebri iste signature je definabilna jednadžbama ako i samo ako je mnogostrukost.
_________________
I don't know half of you half as well as I should like; and I like less than half of you half as well as you deserve.
|
