Normirani prostori zadaci

[Braslav]

Muci me zadatak: Neka je X normiran porostor A,B iz B(X). Dokazi da je I-AB regularan ako i samo ako je I-BA regularan.

Molim pomoc.

[LSSD]

Meni bi isto trebalo rijesenje ovog zadatka. Da li ga je neko uspio rijesiti?

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Mr.Doe]

Oznaci sa takav da . Sada definiraj i provjeri da je .

Krajnje blesavo ako se mene pita .

[LSSD]

Hvala
Evo sad par novih zadataka:

1.Neka je X Hilbertov prostor i P ogranicen, P*P=P. Dokazite
a) Ako P nije 0, onda je ||P||>=1
b) Ako je P ortogonalni projektor, tada je ||P||=1.

2.Neka je H Hilbertov prostor i A ogranicen operator na H. Dokazite da postoje jedinstveni hermitki operatori B,C ograniceni, takvi da je A=B+iC, gdje je i=sqrt(-1). Dokazite da je A normalan ako i samo ako B i C komutiraju.

3.Neka je H Hilbertov prostor sa skalarnim produktom (.|.). Neka je dana familija kompaktnih operatora C_n, koji su elementi od L(X), koja u normi konvergira ka operatoru C. Neka je takodjer dan slabo konvergentan niz vektora x_n t.d. (w) x_n→x_0. Konvergira li niz brojeva (C-nx_n|x_n)? Ako da,pokazite kamo.

4. Neka je Y zatvoren, a Z konacno-dimenzionalan potprostor normiranog prostora X. Tada je potrpostor Y+Z zatvoren. Dokazite!

Unaprijed hvala!

Added after 1 hours 32 minutes:

Prva dva ne treba rijesavati, dovrsila sam ih, ali zato imam jedan novi:

Neka su A_n i A neprekinuti linearni hermitski operatori na Hilbretovom prostoru X i x_n i x iz X, takvi da vrijedi A_n→A(s) i x_n→x(w). Konvergira li niz vektora A_nx_n? Ako da, pokazite kamo.

_________________
' Zasto jednostavno kad moze i komplicirano?'

[Felicity]

Molim vas, ako netko zna rijesiti zadatke (ili barem neki) od 2. nadalje koje je kolega/kolegica prije mene poslala, i meni bi puuno pomoglo. Hvala!

[Gost]

"da li je norma inducirana skalarnim produktom?" dokazujem td pokažem da vrijedi jendnakost paralelograma?

[Luuka]

[popravljac]

jel ima netko ideju kako raspisat drugi dio rjesenja 2. zadatka iz proslogodisnjeg kolokvija(ovo da je niz cauchyjev)?
kako ograniciti sup|x((1-nx)sqrt(n) - (1-mx)sqrt(m))|?

[Luuka]

kao prvo, puno je lakše gledat f_n i f_(n+k) za k iz N nego m i n, čisto da su indexi sličniji, a radi se o istoj stvari.

A ja sam to ovako nekako:





Lako dobijemo da je (maximum se postiže u tjemenu kv fje, tj u stacionarnoj točki, koja je x=1/(2n)).

Dobijemo:


Dakle za epsilon proizvoljan, uzmemo no naprimjer kao


i za svaki n>=n0, i k iz N vrijedi gornja ocjena s epsilon, dakle niz je Cauchyjev

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[popravljac]

hvala Luka
a imas ideju za (c) u 4.?

[Luuka]

nisu ekvi

očito (jer je u ||p|| sadržana i ova maximalna komp, i njoj je još dodano)

obratno, vrijedi

pa bi onda moralo vrijedi da je M>=n+1 za svaki n iz N (jer se traži ekvivalentnost na prostoru svih polinoma, ne samo onih stupnja n), a to očito ne može bit.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[popravljac]

a sto nije beskonacna norma def kao||p||={|p(x)|: xE[0,1]}?

[tihana]

[Luuka]

a da fakat... a ja gledo kao maximum koeficijenata

A može se nešto sa fn = x^n skemijat, da se jedan koeficijent ne može dobit.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[popravljac]

[Luuka]

lažem gore

trebalo bi nam


Ta fja bi trebala poprimat maximum u x=1/2
kod p norme bi trebali ocjenit koeficijente polinoma, a to možemo sa >=1.
jedan smjer bi dao:





A tu se dobije da m mora bit nula. Kontradikcija.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[ma]

a jel bi ovo prošlo (još jednostavnije je):

definiramo niz polinoma


sada je za svaki ,
,
.

i sad ne postoji M>0 za koji bi vrijedilo:
.

_________________
ima let u finish