| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
dataCOOL
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 06. 02. 2004. (15:14:00)
Postovi: (8)16
|
 Postano: 17:57 uto, 10. 2. 2004 Naslov: Zadatak s nizom! |
    |
|
|
Zadatak kaže dokažite:
a)lim a^n=1,a=1
b)lim a^n=+beskonačno,a>1
rj.:
a)trivijalno,niz je stacionaran,nužno slijedi da je konvergentan:
idem po definiciji konvergencije:
proizvoljni epsilon>0
|a_n-1|=|1-1|=0<epsilon
n_o=1 dakle već prvi član/broj niza je u epsilon okolini,problema nema nikakvog.
rj.:
b)
a*a>a pa slijedi a^n+1>a^n odnosno a_n+1>a_n (An@IN) niz je strogo rastući
e sad,kako da iskoristim definiciju divergencije u +beskonačno da dokažem istu? :roll:
Definicija:
(AM>0)(postoji n_o=n_o(M)@IN)takav da(n@IN,n>=n_o povlači a_n>M)
Zadatak kaže dokažite:
a)lim a^n=1,a=1
b)lim a^n=+beskonačno,a>1
rj.:
a)trivijalno,niz je stacionaran,nužno slijedi da je konvergentan:
idem po definiciji konvergencije:
proizvoljni epsilon>0
|a_n-1|=|1-1|=0<epsilon
n_o=1 dakle već prvi član/broj niza je u epsilon okolini,problema nema nikakvog.
rj.:
b)
a*a>a pa slijedi a^n+1>a^n odnosno a_n+1>a_n (An@IN) niz je strogo rastući
e sad,kako da iskoristim definiciju divergencije u +beskonačno da dokažem istu? 
Definicija:
(AM>0)(postoji n_o=n_o(M)@IN)takav da(n@IN,n>=n_o povlači a_n>M)
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 21:39 uto, 10. 2. 2004 Naslov: Re: Zadatak s nizom! |
|
|
|
[quote="dataCOOL"]Zadatak kaže dokažite:
b)lim a^n=+beskonačno,a>1
a*a>a pa slijedi a^n+1>a^n odnosno a_n+1>a_n (An@IN) niz je strogo rastući
e sad,kako da iskoristim definiciju divergencije u +beskonačno da dokažem istu? :roll:
Definicija:
(AM>0)(postoji n_o=n_o(M)@IN)takav da(n@IN,n>=n_o povlači a_n>M)[/quote]
Uzmeš M pozitivan. a>1 , pa a-1 označiš s eps,>0 . Skužiš da je a^n=(1+eps)^n . BSOMP n>1 . Iskoristiš binomnu formulu. To je 1+n*eps+(npovrh2)*eps^2+... . Vidiš da su svi članovi pozitivni. Dakle, to je veće od 1+n*eps , pa je veće i od n*eps . Sad iskoristiš Arhimeda.
Trebalo bi biti jasno...
| dataCOOL (napisa): | Zadatak kaže dokažite:
b)lim a^n=+beskonačno,a>1
a*a>a pa slijedi a^n+1>a^n odnosno a_n+1>a_n (An@IN) niz je strogo rastući
e sad,kako da iskoristim definiciju divergencije u +beskonačno da dokažem istu?
Definicija:
(AM>0)(postoji n_o=n_o(M)@IN)takav da(n@IN,n>=n_o povlači a_n>M) |
Uzmeš M pozitivan. a>1 , pa a-1 označiš s eps,>0 . Skužiš da je a^n=(1+eps)^n . BSOMP n>1 . Iskoristiš binomnu formulu. To je 1+n*eps+(npovrh2)*eps^2+... . Vidiš da su svi članovi pozitivni. Dakle, to je veće od 1+n*eps , pa je veće i od n*eps . Sad iskoristiš Arhimeda.
Trebalo bi biti jasno...
|
|
| [Vrh] |
|
ddmit
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2004. (16:43:12)
Postovi: (20)16
Lokacija: wild west
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 14:33 sri, 11. 2. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]da trebalo bi biti,a nije...može li to ikako bez te nesretne binomne formule,sve zadatke smo dokazivali bez nje,pa ima li takvog načina?[/quote]
Uvijek ima, math je puno povezanija nego što većina ljudi misli. :-)
(To što mislim da je jaako dobro poznavati binomnu formulu, i da bez nje nećeš daleko stići, je druga priča).
Čuo za Bernoullijevu nejednakost?
Ako je x>-1 , i r>1 , tada je (1+x)^r>1+rx .
Inače se dokazuje preko derivacijâ
( http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2900 )
ali nama treba samo za x=eps>0 , i r=n@|N , pa je možemo dokazati math-indukcijom po r . Također, ne treba nam stroga nejednakost, pa možemo početi od r=1 . Baza je tad 1+x>=1+x ok. Pretpostavimo da (1+x)^r>=1+rx . Korak:
(1+x)^(r+1)=(1+x)^r*(1+x)>=(1+rx)(1+x)=1+(r+1)x+r*x^2>=1+(r+1)x QED.
Jel ovo ok? :-)
| Anonymous (napisa): | | da trebalo bi biti,a nije...može li to ikako bez te nesretne binomne formule,sve zadatke smo dokazivali bez nje,pa ima li takvog načina? |
Uvijek ima, math je puno povezanija nego što većina ljudi misli. 
(To što mislim da je jaako dobro poznavati binomnu formulu, i da bez nje nećeš daleko stići, je druga priča).
Čuo za Bernoullijevu nejednakost?
Ako je x>-1 , i r>1 , tada je (1+x)^r>1+rx .
Inače se dokazuje preko derivacijâ
( http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=2900 )
ali nama treba samo za x=eps>0 , i r=n@|N , pa je možemo dokazati math-indukcijom po r . Također, ne treba nam stroga nejednakost, pa možemo početi od r=1 . Baza je tad 1+x>=1+x ok. Pretpostavimo da (1+x)^r>=1+rx . Korak:
(1+x)^(r+1)=(1+x)^r*(1+x)>=(1+rx)(1+x)=1+(r+1)x+r*x^2>=1+(r+1)x QED.
Jel ovo ok?
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
|
).