dokaz teorema

[lucijana]

Teorem . Neka je A≠Ø proizvoljan skup, ~ relacija ekvivalencije na A; te x, y є A:
1. Ako x ~ y; onda je [x] n [y] = Ø (prekrižena tilda)
2. Ako je x ~ y; onda je [x] = [y]

Jel može neko dokazat teorem...i 1.i 2. tvrdnju.hvalaaa

[markotron]

1)

Pretpostavi suprotno

x nije u relaciji sa y a presjek im nije prazan.
Dakle postoji neki z koji je u presjeku klasa ekvivalencije. To, po definiciji presjeka, znaci da je z u klasi ekvivalenicje [x] i z je u klasi ekvivalencije [y]. Dakle z je u relaciji sa x i z je u relaciji sa y (jer je z u [x] ako i samo ako je z u relaciji sa x), pa zbog tranzitivnosti i simetričnosti vrijedi x je u relaciji sa y. Što je naravno kontradikcija.

2)

Dokazujemo jednakost skupova. (treba dokazati obije inkluzije)

Neka su x i y u relaciji. uzmimo z iz [x]. Znači, z je u relaciji sa x, ali pošto je x u relaciji sa y, tranzitivnost povalći da je i z u relaciji sa y. dakle z je u [y]. Time smo dobili jednu inkluziju. Druga inkluzija ide analgono.

Pozdrav, Marko

_________________
reductio ad absurdum