svojstvena vrijednost i sve ostalo (objasnjenje gradiva)

[Glupko_3.14]

dobar dan. ne mogu nikako razmisljat pa bih postavila sad neka pitanja

gledam vjezbe asistenta kovača, konkretno zadatak na 51. strani, za eventualne vlasnike fotokopija i uglavnom, u jednom trenu se pojavljuje da je spektar od operatora (-B-I) jednak {-b-1| b svojstvena vrijednost operatora B}
prvo sam presla preko toga jer mi se cinilo posve normalno, logicno i jasno, ali sad kad sam slucajno isla razmislit mi ipak nije jasno!
jooooj, ajme sad kad sam isla raspisat zasto mi nije jasno, sam vidjela da je sve u redu
sto da sad radim?
ipak cu postat ovo zato jer mislim da cu uskoro imat nova pitanja

evo, samo da si prvo odgovorim
dakle, lambda je svojstvena vrijednost operatora -B-I akko je det(-B-I-lambda*I)=0 akko det(B-(-1-lambda)*I)=0 akko -1- lambda je iz spektra operatora B akko lambda=-b-1 za neki b iz spektra operatora B

hvala na odgovoru

nema na cemu i drugi put

Added after 41 minutes:

takodjer, ako nekog zanima, mogu mu objasnit kako dobijemo spektar operatora r iz L(L(V)), r(T):=ATB, A,B iz L(V)

_________________
Nov, još gluplji.

[Mr.Doe]

Ako je analiticka, onda je . Kljucne rijeci; teorem o preslikavanju spektra. (Ovaj iskaz je dovoljno opcenit za tvoj slucaj, no nije preopcenit).

[Glupko_3.14]

super, super, pa to sam i znala nekad davno
hvala!

_________________
Nov, još gluplji.

[Glupko_3.14]

evo, rijec je o karakterizaciji nilpotentnog operatora:
Teorem: Neka je V kon. dim. vekt. pr., N nilpotentni operator indeksa p. Tada postoje prirodni brojevi r, p_1, ..., p_r i vektori x_1,...,x_r tako da je
(i) p_1>=...>=p_r
(ii) N^(p_1-1) x_1,...,Nx_1,x_1,...,N^(p_r-1)x_r,...,Nx_r,x_r čine bazu za V
(iii) N^p_1 x_1=...=N^p_r x_r = 0. Prirodni brojevi r, p_1,...,p_r čine potpun sistem invarijanti sličnosti.

i sad je tu dokaz koji zapravo uopce ne razumijem.
ovako ide: uzmemo p_1=p i izaberemo x_1 t.d. je N^(p_1-1)x_1 razlicito od nul-vektora. Tada su N^p_1 x_1,...,Nx_1, x_1 linearno nezavisni te prostor razapet tim vektorima posjeduje direktan komplement koji je invarijantan za N. To do sad razumijem i slijedi sve iz prethodnog teorema sa cijim dokazom isto imam izvjesnih problema, ali ne ovako velikih.
E, i sada prvo sto ne razumijem jest to da taj direktan komplement koji je invarijantan za N je strogo nize dimenzije. Zasto? Onda provodimo postupak dalje, odnosno p_2 je indeks operatora N na tom komplementu.
cekajte, strogo nize dimenzije od cega uopce?
dalje mi pise da tim postupkom iscrpimo cijeli prostor.
znaci, nista mi nije jasno. aha! posto je p indeks operatora N na cijelom prostoru V, onda p_2 moze biti samo manji ako gledamo na potprostoru, to je ok. ali kada ponovno gledamo njegov komplement hmmmm dobro, mislim da mi je cak jasno da se taj niz p_n ova smanjuje, ali mi nije jasno u kojem trenutku smo iscrpili cijeli prostor? kada dobijemo p_r=1?
jos cu malo razmisljat, ali molim istovremeno i za pomoc, hvala!

Added after 5 minutes:

ufff!!!! sad mi je jasno uopce o cemu se prica!
znaci, p_2 imamo, i onda opet formiramo te linearno nezavisne vektore, i gledamo komplement njihov u tom vec potprostoru bla bla ma ja sam budala. necu ni priznat sto sam ja zamisljala. samo cu rec da u toj zamisli stvarno nije jasno kad dodje kraj sa p_n ovima!
i prostor smo dakle iscrpili kada nema direktnog komplementa od ovog sto razapinju vektori, nego je to taj cijeli potprostor

_________________
Nov, još gluplji.

[Glupko_3.14]

ovo je pitanje u vezi sasvim novog teorema. Radi se o teoremu koji kaze da se svaki A element Hom(V) moze prikazati na jedinstven nacin kao direktna suma jedne nilpotentne i jedne invertibilne transformacije.

na pocetku dokaza se konstatira da postoji najmanji k prirodan broj takav da nastupa slucaj ker(A^k)=ker(A^(k+1) ... itd.
a na kraju dokaza, kada se pokazuje da je rastav na (ker(A^k), im(A^(k+1)) jedinstven, odnosno uzmemo jos jedan par (H,K) koji reducira A gdje je A na H nilpotentno, a A na K invertibilno preslikavanje, stoji (medju ostalim) da je K podskup od im (A^q) za svaki q! zasto? ne razumijem

Added after 7 minutes:

jos i da pitam, znaci ako mi je i jasno ovo od maloprije (a nije), tu mi pise da iz toga i toga da je H podskup od ker(A^q) za neki q, pa je H podskup od ker(A^k) , dalje zbog dimenzija lako slijedi da je H=ker (A^k) i K=im(A^k)

meni pada na pamet samo dim V = dim H + dim K ⇐ dim ker(A^k)+dim im(A^k) =d(A^k)+r(A^k) = dim V, ali ne znam kako bi dalje iz toga zakljucila bas te jednakosti
hahaha!!!! slatko sam se nasmijala sebi. da, jasno mi je, hvala!
ja ovo sve ostavljam jer stvarno skuzim u trenu kad vec natipkam, a ne ranije, nadam se da to nije nepristojno

Added after 49 minutes:

nije mi jasan ni dokaz Fittingove dekompozicije

znaci teorem kaze da ako za neki A iz Hom(V) imamo karakteristicni polinom k_A(x)=(x-lambda_1)^k_1*...*(x-lambda_p)^k_p, i onda definiramo M_i → M_i=ker(A-lambda_i*I)^k_i, za i=1,...,p, da tada p-torka (M_1,...,M_p) reducira A, te je A-lambda_i*I nilpotentno na M_i.

sad u dokazu definiramo A_j=A-lambda_j*I
i znamo prema prethodnom nekom teoremu, tocnije onom za kojeg sam malo prije pitala nesto isto, da postoje potprostori M_j i N_j takvi da je A_j na M_j nilpotentan, a na N_j regularan
sada se spominje kako su ti prostori i invarijantni na A_j pa je determinanta produkt determinanti na svakom prostoru posebno (to recimo razumijem, znam kak to izgleda uzivo, ali nije mi jasno zasto to spominjemo)
e, sada se kaze da je jedina svojstvena vrijednost od A na M_j lambda_j. zasto?
dalje, pise da iz toga i toga da A na N_j nema svojstvenu vrijednost lambda_j (jasno) slijedi da je dim(M_j)=k_j. kak da iskoristim ovo sa determinantom i to? jako mi je tesko razmisljat
da, i jos pise da iz istih razloga slijedi da je svaki potprostor M_j disjunktan od linearne ljuske drugih?

ok, sad slijedi zbog dimenzijskog argumenta da je V direktna suma tih M_i-ova

i zadnje, A_i=A-lambda_i*I je nilpotentna na M_i i regularna na N_i, k_i=dim M_i pa navodno zato vrijedi da je M_i= ker (A-lambda_i*I)^k_i. to je iz proslog teorema nekak, ne? kako?

_________________
Nov, još gluplji.

[Sagesse Burlesque]

[Glupko_3.14]

aaaaaaaaaaa!!! fala! superiska

x iz Im(A^(k+1)) - x=A^(k+1)y=A^k(Ay) pa je x i iz Im(A^k)

_________________
Nov, još gluplji.

[Sagesse Burlesque]

hehhe eto, super

[Glupko_3.14]

imam pitanje u vezi polarne forme operatora

u dokazu teorema, nakon sto smo utvrdili da je A*A pozitivan i uzeli ortonormiranu bazu svojstvenih vektora tog operatora, i h_k^2 su elementi na dijagonali u matrici A*A, definiramo e_k'=Ae_k/h_k i onda su e_k' ortonormirani vektori. jasno mi je da su ortogonalni medjusobno, ali zasto su normirani?

Added after 2 minutes:

to onda znaci da je h_k svojstvena vrijednost od A kojem je pridruzen svojstveni vektor e_k. kak to dobijemo iz onog o A*A?

Added after 19 minutes:

ne, to ne znaci to, nego:

||Ae_k/h_k||=1/|h_k| * ||Ae_k||

||Ae_k||=korijen( (Ae_k|Ae_k) ) =korijen( (e_k|A*Ae_k) ) =korijen( (e_k|h_k^2*e_k) ) =|h_k|*||(e_k|e_k)|| = |h_k| jer je h_k iz R

_________________
Nov, još gluplji.

[Glupko_3.14]

radi se o teoremu koji kaze da za svaki A iz Hom(V) i f funkciju operatora, mozemo naci jedinstven polinom P t.d. je f(A) = P(A) ciji je stupanj manji od stupnja minimalnog polinoma od A.

sad dokazujemo, dokazujemo i dobijemo nekakav polinom t.d. H(A)=f(A)
i onda! kazemo - znaci polinom postoji, a dijeljenjem s minimalnim polinomom dobivamo polinom manjeg stupnja od minimalnog polinoma.
zasto je polinom H(x) dijeljiv sa minimalnim polinomom?

Added after 40 minutes:

samo da spomenem da je usmeni sutra u 12 pa mi je malo hitno

_________________
Nov, još gluplji.