[quote="Anonymous"]Možete li komentirati tvrdnje:
-svaki prirodan broj je razlomak jer se može napisati u obliku m/n,a takav oblik poprimaju svi razlomci.
[/quote]
Vjerojatno točno, ali nedovoljno precizno. Naime, "prirodan broj" je math-objekt, broj, element skupa |N . "razlomak" je način zapisivanja broja ( m/n , gdje je m oznaka za neki cijeli, a n oznaka za neki prirodan broj), konkretno racionalnog broja ovdje. Ako želiš reći da je svaki prirodni broj ujedno i racionalan, to je ok.
[quote]-Faktor je broj koji se množi.
Zato razlomak 3/2 ima u brojniku faktor 3,a u nazivniku faktor 2 jer se može napisati kao (3*1)/(2*1),pa su faktori u brojniku 1,3 (i svi drugi brojevi koji u produktu daju broj 3).[/quote]
Da, ali je nepotrebno tako pisati. Ako se ne kaže drugačije, u |Q se (prostim) faktorima smatraju (prosti) djelitelji brojnika, te recipročne vrijednosti (prostih) djeliteljâ nazivnika (može se reći i "faktor u nazivniku", kao što ti kažeš). Dakle, 3 i 1/2 su odmah vidljivo (prosti) faktori od 3/2 (3 je (prost) djelitelj od 3 , a 1/2 je recipročna vrijednost (prostog) djelitelja od 2 : ), i zaista, 3/2=3*1/2 . Pritom se uvažava domena iz koje se uzimaju... brojnik je cijeli broj, pa se njegovi djelitelji gledaju nad |Z , a nazivnik je prirodan, pa se gledaju nad |N .
Npr. 6/35 . Njegovi faktori su u brojniku 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6 a u nazivniku 1,5,7,35 (that is, svi faktori su mu 1,-1,2,-2,3,-3,6,-6;1/5,1/7,1/35 - te, u nekim širim shvaćanjima, i njihovi (.;.)-umnošci poput -2/5 , 2/7 itd.). Prosti faktori su mu 2,3,1/5,1/7 .
[quote]U nazivniku su faktori 1,2 (i svi drugi brojevi koji u produktu daju broj 2).[/quote]
Da, samo što se "svi drugi" svodi na kvantifikaciju po praznom skupu. :-) Nema drugih (u prirodnim brojevima).
[quote]-racionalan broj je svaki onaj koji se može izmjeriti osnovnom mjernom jedinicom.[/quote]
Ovo zvuči fizikalno:-), ali samo na prvi pogled. Izbaci "osnovnom mjernom", i "izmjeriti" definiraj preko standardnih operacija u (0)-polju , i dobiješ jedan smjer jako lijepog teorema da je |Q najmanje (0)-polje (polje karakteristike 0 ).
Zaista, svaki racionalan broj se može dobiti pomoću jedinice, zbrajanja, množenja, te uzimanja aditivnog i multiplikativnog inverza.
Npr. 2/5=(1+1)*(1+1+1+1+1)^- .
[quote]-možete mi dati primjer funkcije koja je injekcija,_a nije_ strogo monotona![/quote]
permutacija p : 3->3 ; x|->(x+1)mod 3
(dakle, 0|->1 , 1|->2 , 2|->0 ). Injekcija je jer su permutacije bijekcije, a nije monotona jer nije rastuća ( p(1)>p(2) ) niti padajuća ( p(0)<p(1) ).
[quote](koji je zahtjev za takve funkcije)?[/quote]
Zahtjev je da ne budu neprekidne na povezanoj domeni. :-))
Zezam se... vidi Šegin odgovor.
[quote]-Eudokso-Arhimedov aksiom govori:
(Aepsilon>0)(postoji n@IN)takav da 1/n<epsilon
smijem li ovako čitati taj aksiom:
za svaki pozitivan broj,koliko god malen bio(epsilon), ja ću naći pozitivan broj koji je manji od njega zahvaljujući činjenici da je skup IN skup beskonačan.[/quote]
Khm. Kao prvo, nije ti poanta (samo) naći pozitivan broj manji od eps - jer je za tu svrhu eps/2 sasvim ok - već naći takav broj _oblika 1/n _, gdje je n prirodan.
Kao drugo, to baš i nema puno veze s beskonačnošću skupa |N (skup [1,2] je također beskonačan, ali ako njega staviš gore umjesto |N , nećeš dobiti točnu tvrdnju - jasno zašto?). Više ima veze s tim da je |N konfinalan u |R ... na neki način, heuristički, "idu u +oo zajedno".
[quote]Druga verzija Eudokso-Arhimedova aksioma kaže:
a>0,b>0 postoji n@IN takav da n*a>b
ne dokazuje li taj aksiom beskonačnost skupa prirodnih brojeva?[/quote]
Strogo, ne. (Ne sam po sebi, bar.) Dok ne dokažeš da su prirodni brojevi ujedno i realni, te da su svi pozitivni. ((To je jedan put. Možeš i drugačije... no mislim da nema puno smisla, jer ako već hoćeš "izgraditi" realne brojeve na standardni način (ono, |N -> |Z -> |Q -> |R ), beskonačnost od |N je nešto što moraš a priori imati. Naravno, postoji i drugi pristup, opisan u Mardešiću npr. . Pogledaj kako se tamo vidi da je skup |N beskonačan.))
[quote]a=1,n>b,a b je proizvoljno velik pozitivan broj.
Može li se uopće aksiom koristiti kao dokaz[/quote]
Aksiom kao dokaz, ne. Aksiom kao korak u dokazu, da. :-)
[quote] budući da su aksiomi pretpostavljene činjenice(koliko god ove dvije riječi apsurdno zvučale)?[/quote]
Ako ti zvuče apsurdno, to znači da još nisi shvatio što aksiomatski pristup znači. Hint: "dokaz" u mathu nije isto što i "dokaz" na sudu, npr.
[quote]Dakle,nešto nedokazivo je uzeto kao činjenica.[/quote]
Kao činjenica - ni slučajno (osim u modelu... ali to je već druga priča). Kao početni kamen temeljac na kojem gradimo teoriju, prije.
Kad bi isao racunati koliki je udio (strogo) monotonih funkcija u skupu svih injekcija izmedju dva (recimo, konacna) skupa, vidio bi da je taj udio jako mali... 
)
(naučit ćeš na teoriji skupova zašto je ovo smiješno: ). Reci "od svakog realnog broja", npr. . Zvučat ćeš manje dramatično i više točno.