| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pajopatak
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 25. 10. 2009. (22:20:04)
Postovi: (BE)16
|
|
| [Vrh] |
|
ivica13
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 03. 10. 2007. (14:01:02)
Postovi: (102)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
Milojko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol: 
Lokacija: Hilbertov hotel
|
 Postano: 18:50 ned, 13. 12. 2009 Naslov: Re: Teorija kod prof.Guljaša |
    |
|
|
[quote="pajopatak"]Dali prof.Guljaš pita one primjere iz skripte na usmenom?
Jeli dovoljno znat samo teoreme,propozicije i važne dokaze za prolaz?[/quote]
kod Guljaša treba znat čitavu skriptu (a valjalob i da ju razumiješ), a kod Šikića čitavu bilježnicu (iako, i skripta može dobro proći :D)
ugl, stvar ti je u tome da on tebe od ne znam kolko to već imaš teorema, lemi, propozicija, čega li sve već ne, pita dva, tri, najviše četiri pitanja. tak da, možeš znati 95 posto gradiva pa okinit, a možeš znati i svega 10 posto gradiva, pa dobiti i dosta dobre ocjene.
najbolji lijek za ovo je naučiti sve, i miran si
| pajopatak (napisa): | Dali prof.Guljaš pita one primjere iz skripte na usmenom?
Jeli dovoljno znat samo teoreme,propozicije i važne dokaze za prolaz? |
kod Guljaša treba znat čitavu skriptu (a valjalob i da ju razumiješ), a kod Šikića čitavu bilježnicu (iako, i skripta može dobro proći  )
ugl, stvar ti je u tome da on tebe od ne znam kolko to već imaš teorema, lemi, propozicija, čega li sve već ne, pita dva, tri, najviše četiri pitanja. tak da, možeš znati 95 posto gradiva pa okinit, a možeš znati i svega 10 posto gradiva, pa dobiti i dosta dobre ocjene.
najbolji lijek za ovo je naučiti sve, i miran si
_________________ Sedam je prost broj 
Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat |
|
| [Vrh] |
|
zdjopa
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 12. 2007. (21:28:11)
Postovi: (19)16
|
|
| [Vrh] |
|
Atomised
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 09. 2007. (15:33:59)
Postovi: (399)16
Lokacija: Exotica
|
|
| [Vrh] |
|
Milojko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol:
Lokacija: Hilbertov hotel
|
| Postano: 12:35 sub, 16. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
[quote="zdjopa"]Ako imaš dobre kolokvije (znači oko 90%), nemoraš znati ništa i dobit ćeš min 4.[/quote]
kolegica sa 44 boda je lani pala
| zdjopa (napisa): | | Ako imaš dobre kolokvije (znači oko 90%), nemoraš znati ništa i dobit ćeš min 4. |
kolegica sa 44 boda je lani pala
_________________ Sedam je prost broj
Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat |
|
| [Vrh] |
|
pupi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 12. 2009. (11:03:15)
Postovi: (92)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
eve
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 07. 2009. (23:07:06)
Postovi: (192)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Grga
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 23. 12. 2004. (23:05:23)
Postovi: (280)16
Spol:
|
| Postano: 1:44 ned, 17. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
[quote="eve"]Moze li netko rec koliko je ta neprekidnost bitna, i koji od onih silnih teorema su najbitniji, ili su primjeri bitniji?
Da li je jakoo bitno (tipa za 2) znat exponencijalnu funkciju?[/quote]
Neprekidnost je jedan od najvaznijih pojmova koje ces susresti na studiju.
Najvaznije je naravno da znas definiciju, da znas negirati tu tvrdnju, i da razumijes o cemu se tu radi. Ono sto je od teorema sigurno najvaznije je BW teorem za funkcije, barem iskaz i ideja dokaza. Ali preporucam bar znat o cem se radi u svim dokazima.
Eksponencijalnu za 2 prakticki nemoguce da te pita profesor
| eve (napisa): | Moze li netko rec koliko je ta neprekidnost bitna, i koji od onih silnih teorema su najbitniji, ili su primjeri bitniji?
Da li je jakoo bitno (tipa za 2) znat exponencijalnu funkciju? |
Neprekidnost je jedan od najvaznijih pojmova koje ces susresti na studiju.
Najvaznije je naravno da znas definiciju, da znas negirati tu tvrdnju, i da razumijes o cemu se tu radi. Ono sto je od teorema sigurno najvaznije je BW teorem za funkcije, barem iskaz i ideja dokaza. Ali preporucam bar znat o cem se radi u svim dokazima.
Eksponencijalnu za 2 prakticki nemoguce da te pita profesor
_________________
Bri
|
|
| [Vrh] |
|
Milojko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol:
Lokacija: Hilbertov hotel
|
| Postano: 2:04 ned, 17. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
[quote="pupi"]bi mi mi neko mogao objasnit dokaz iz guljaseve skripte dokaz da je 1/x neprekidna zasto se uzima ovaj minimum tj ovaj drugi dio kad se uzme da je min s c^2 ....hvala[/quote]
matematička analiza iliti namještanje u matematici
mora si naštimat da mu sve na kraju bude manje od epsilona. imaš u vitičastima da je |x-c| manje i od eps * |c|^2 /2 i od samog |c|/2. iz ove druge slijedi prva implikacija (raspiši malo ove apsolutne vrijednosti, one znaju bit zeznute često) sad je pomnožio obje strane sa eps * |c|. jer je delta bio manji od |c|/2 i eps * |c|^2/2, a u ovoj zadnjoj nejednakosti ima baš da je eps*|c|^2/2 < eps * |x||c| vrijedi i da je |x-c| < eps*|x||c|. jer su i x i c različiti od nule, sad smije podjelit sa time. ovaj zadnji korak je valda jasan. dobio je da je njihova razlika funkcijskih vrijednosti od x-a i c-a manja od epsilon pa je onda i funkcija neprekidna. naravno, na R\{0}
| pupi (napisa): | | bi mi mi neko mogao objasnit dokaz iz guljaseve skripte dokaz da je 1/x neprekidna zasto se uzima ovaj minimum tj ovaj drugi dio kad se uzme da je min s c^2 ....hvala |
matematička analiza iliti namještanje u matematici
mora si naštimat da mu sve na kraju bude manje od epsilona. imaš u vitičastima da je |x-c| manje i od eps * |c|^2 /2 i od samog |c|/2. iz ove druge slijedi prva implikacija (raspiši malo ove apsolutne vrijednosti, one znaju bit zeznute često) sad je pomnožio obje strane sa eps * |c|. jer je delta bio manji od |c|/2 i eps * |c|^2/2, a u ovoj zadnjoj nejednakosti ima baš da je eps*|c|^2/2 < eps * |x||c| vrijedi i da je |x-c| < eps*|x||c|. jer su i x i c različiti od nule, sad smije podjelit sa time. ovaj zadnji korak je valda jasan. dobio je da je njihova razlika funkcijskih vrijednosti od x-a i c-a manja od epsilon pa je onda i funkcija neprekidna. naravno, na R\{0}
_________________ Sedam je prost broj
Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat |
|
| [Vrh] |
|
eve
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 07. 2009. (23:07:06)
Postovi: (192)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
mornik
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 26. 09. 2009. (06:25:44)
Postovi: (128)16
|
| Postano: 7:51 ned, 17. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
Probat ću objasniti ideju i neke glavne korake, a dalje je manje-više sve tehnička izvedba.
Dakle, imamo neprekidnu funkciju na segmentu. Želimo pokazati da je ona ograničena. Štoviše, pokazat ćemo i da se supremum i infimum slike postižu, a i da se postižu sve točke između njih.
Pokažimo prvo da je (odozgo) ograničena. Naravno, pretpostavljamo suprotno. U tom slučaju postoji niz [latex](x_n)_n\subseteq\[a,b\][/latex] takav da za svaki [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] vrijedi [latex]f(x_n)>n[/latex]. Ovo nam se sviđa jer osjećamo da ćemo tu nekako moći ukomponirati BW teorem za nizove.
Pokušat ću ovo objasniti sad što prirodnije, pa možda ne bude isti redoslijed kao u bilježnici/skripti. Dakle, želimo negdje uklopiti BW teorem za nizove. Naime, znamo da ćemo imati neki konvergentni podniz niza [latex](x_n)_n[/latex]. Putem neprekidnosti probat ćemo to nekako "preslikati" na niz [latex](f(x_n))_n[/latex]. No, on neće imati niti jedan konvergentan podniz, to nam je dosta jasno, a i relativno lako ćemo se u to poslije uvjeriti. Idemo sad to formalizirati :).
Po BW teoremu za nizove, [latex](x_n)_n[/latex] ima konvergentan podniz takav da [latex]x_{p_n}\to c[/latex] za neki [latex]c\in\[a,b\][/latex]. No, zbog neprekidnosti, onda i [latex]f(x_{p_n})\to f(c)\in\mathbb{R}[/latex]. Ovdje sad lako dobivamo kontradikciju. Naime, [latex]f(x_{p_n})>p_n[/latex] (po svojstvu niza [latex](x_n)_n[/latex], a [latex]p_n\geq n[/latex] (po definiciji podniza). Stoga, [latex]f(x_{p_n})>n[/latex] za svaki [latex]n\in\mathbb{N}[/latex], pa taj niz očito ne konvergira. Kontradikcija.
Dakle, funkcija je odozgo ograničena. Potpuno isti dokaz djeluje za niz koji je odozdo ograničen - samo uzmi da postoji niz [latex](x_n)_n[/latex] takav da je [latex]f(x_n)<-n[/latex] i dobivaš potpuno isti dokaz - sve ostalo je isto :).
Drugi dio, gdje pokazujemo da se supremum i infimum postižu, je naglašeno jednostavan :). Ideja je jasna - imamo niz funkcijskih vrijednosti koje idu u supremum/infimum pa ćemo onda nekako iskoristiti BW teorem za nizove da bismo našli neki konvergentni niz koji zadovoljava to svojstvo, a onda će se zbog neprekidnosti supremum/infimum nužno postizati. Evo, vi ste vjerojatno na predavanjima išli promatrati slučaj za supremum, ja ću sada iz čiste obijesti ići promatrati slučaj za infimum :). Situacija je, dakako, posve ista - u ovom slučaju zapravo nema apsolutno nikakve razlike.
Budući da smo pokazali da infimum [latex]m[/latex] postoji, znamo da postoji niz [latex](x_n)_n[/latex] takav da [latex]f(x_n)\to m[/latex] (funkcijske vrijednosti moraju dolaziti proizvoljno blizu infimumu - naravno, možda je [latex](x_n)_n[/latex] konstantan niz, tj. uvijek je [latex]f(x_n)=m[/latex], ali to nam opet ne smeta). No, sad po BW teoremu za nizove postoji konvergentan podniz tog niza takav da [latex]x_{p_n}\to c\in\[a,b\][/latex]. U ovom trenutku jednostavno koristimo neprekidnost i dobivamo [latex]f(x_{p_n})\to f(c)[/latex]. No, kako [latex]f(x_{p_n})\to m[/latex] (jer se radi o podnizu niza [latex](f(x_n))_n[/latex]), a limes je jedinstven, imamo [latex]f(c)=m[/latex]. Stoga, infimum se postiže.
Idemo sad na treći dio. On je nešto teži, ali svejedno ne baš nedostižan. Želimo pokazati da se pojavljuju sve vrijednosti između infimuma i supremuma (upravo smo dokazali da se i oni postižu, tako da nas više ne zanimaju) i to da se one pojavljuju između točaka u kojima se pojavljuju ti infimum i supremum (zapravo, to jednostavno slijedi - samo restringiramo funkciju na zatvoreni interval između tih dviju točaka). Ići ćemo malo zaobilaznim putem i pokazati da za svaki [latex]C[/latex] između infimuma i supremuma postoje dva niza vrijednosti funkcija koji konvergiraju u istu točku: jedan će imati vrijednosti manje od [latex]C[/latex], a drugi vrijednosti veće od [latex]C[/latex]. Stoga će ta točka morati nužno biti [latex]C[/latex] - zbog jednog niza neće moći biti veća od [latex]C[/latex], a zbog drugog neće moći biti manja. Kad smo utvrdili što je ideja, idemo sad prijeći na pravi dokaz :).
Uglavnom, pretpostavljamo da se u [latex]x_m[/latex] postiže infimum, a u [latex]x_M[/latex] supremum. Pretpostavit ćemo da je [latex]x_m<x_M[/latex] (očito nisu jednaki - inače je funkcija konstanta, a to je trivijalno, a dalje je svejedno, ja sam svojedobno izvodio da je [latex]x_m>x_M[/latex] i zbilja je ista stvar, samo treba paziti na predznake na jednom-dva mjesta i to je to). Uzmimo sad da je [latex]A[/latex] skup svih [latex]x\in\[x_m,x_M\][/latex] takvih da je [latex]f(x)<C[/latex]. Ovaj skup je očito neprazan (sadrži [latex]x_m[/latex]), a kako je očito i ograničen, znamo da ima supremum. Nazovimo taj supremum [latex]c[/latex]. Dakle, postoji [latex](x_n)_n\subseteq A[/latex] takav da [latex]x_n\to c[/latex]. Onda zbog neprekidnosti vrijedi i [latex]f(x_n)\to f(c)[/latex]. Kako je [latex]f(x_n)<C[/latex] za svaki [latex]n\in\mathbb{N}[/latex] (jer je [latex]x_n\in A[/latex]), znamo da je [latex]f(c)\leq C[/latex].
S druge strane, pogledajmo jednostavan niz [latex]\displaystyle c+\frac{1}{n}[/latex]. On očito također konvergira u [latex]c[/latex]. Kako je [latex]c[/latex] supremum skupa [latex]A[/latex] (dakle, veći od svih članova tog skupa), onda su svi [latex]\displaystyle c+\frac{1}{n}[/latex] van skupa [latex]A[/latex], pa vrijedi [latex]\displaystyle f(c+\frac{1}{n})\geq C[/latex]. No, kako [latex]\displaystyle c+\frac{1}{n}\to c[/latex], zbog neprekidnosti [latex]\displaystyle f(c+\frac{1}{n})\to f(c)[/latex], pa vrijedi [latex]f(c)\geq C[/latex].
Kao rezultat, imamo [latex]C\leq f(c)\leq C[/latex], pa vrijedi [latex]f(c)=C[/latex] i onda smo gotovi.
Evo, nadam se da je pomoglo :).
Probat ću objasniti ideju i neke glavne korake, a dalje je manje-više sve tehnička izvedba.
Dakle, imamo neprekidnu funkciju na segmentu. Želimo pokazati da je ona ograničena. Štoviše, pokazat ćemo i da se supremum i infimum slike postižu, a i da se postižu sve točke između njih.
Pokažimo prvo da je (odozgo) ograničena. Naravno, pretpostavljamo suprotno. U tom slučaju postoji niz  takav da za svaki  vrijedi  . Ovo nam se sviđa jer osjećamo da ćemo tu nekako moći ukomponirati BW teorem za nizove.
Pokušat ću ovo objasniti sad što prirodnije, pa možda ne bude isti redoslijed kao u bilježnici/skripti. Dakle, želimo negdje uklopiti BW teorem za nizove. Naime, znamo da ćemo imati neki konvergentni podniz niza  . Putem neprekidnosti probat ćemo to nekako "preslikati" na niz  . No, on neće imati niti jedan konvergentan podniz, to nam je dosta jasno, a i relativno lako ćemo se u to poslije uvjeriti. Idemo sad to formalizirati .
Po BW teoremu za nizove, ima konvergentan podniz takav da  za neki  . No, zbog neprekidnosti, onda i  . Ovdje sad lako dobivamo kontradikciju. Naime,  (po svojstvu niza , a  (po definiciji podniza). Stoga,  za svaki , pa taj niz očito ne konvergira. Kontradikcija.
Dakle, funkcija je odozgo ograničena. Potpuno isti dokaz djeluje za niz koji je odozdo ograničen - samo uzmi da postoji niz takav da je  i dobivaš potpuno isti dokaz - sve ostalo je isto .
Drugi dio, gdje pokazujemo da se supremum i infimum postižu, je naglašeno jednostavan . Ideja je jasna - imamo niz funkcijskih vrijednosti koje idu u supremum/infimum pa ćemo onda nekako iskoristiti BW teorem za nizove da bismo našli neki konvergentni niz koji zadovoljava to svojstvo, a onda će se zbog neprekidnosti supremum/infimum nužno postizati. Evo, vi ste vjerojatno na predavanjima išli promatrati slučaj za supremum, ja ću sada iz čiste obijesti ići promatrati slučaj za infimum . Situacija je, dakako, posve ista - u ovom slučaju zapravo nema apsolutno nikakve razlike.
Budući da smo pokazali da infimum  postoji, znamo da postoji niz takav da  (funkcijske vrijednosti moraju dolaziti proizvoljno blizu infimumu - naravno, možda je konstantan niz, tj. uvijek je  , ali to nam opet ne smeta). No, sad po BW teoremu za nizove postoji konvergentan podniz tog niza takav da  . U ovom trenutku jednostavno koristimo neprekidnost i dobivamo  . No, kako  (jer se radi o podnizu niza ), a limes je jedinstven, imamo  . Stoga, infimum se postiže.
Idemo sad na treći dio. On je nešto teži, ali svejedno ne baš nedostižan. Želimo pokazati da se pojavljuju sve vrijednosti između infimuma i supremuma (upravo smo dokazali da se i oni postižu, tako da nas više ne zanimaju) i to da se one pojavljuju između točaka u kojima se pojavljuju ti infimum i supremum (zapravo, to jednostavno slijedi - samo restringiramo funkciju na zatvoreni interval između tih dviju točaka). Ići ćemo malo zaobilaznim putem i pokazati da za svaki  između infimuma i supremuma postoje dva niza vrijednosti funkcija koji konvergiraju u istu točku: jedan će imati vrijednosti manje od , a drugi vrijednosti veće od . Stoga će ta točka morati nužno biti - zbog jednog niza neće moći biti veća od , a zbog drugog neće moći biti manja. Kad smo utvrdili što je ideja, idemo sad prijeći na pravi dokaz .
Uglavnom, pretpostavljamo da se u  postiže infimum, a u  supremum. Pretpostavit ćemo da je  (očito nisu jednaki - inače je funkcija konstanta, a to je trivijalno, a dalje je svejedno, ja sam svojedobno izvodio da je  i zbilja je ista stvar, samo treba paziti na predznake na jednom-dva mjesta i to je to). Uzmimo sad da je  skup svih  takvih da je  . Ovaj skup je očito neprazan (sadrži ), a kako je očito i ograničen, znamo da ima supremum. Nazovimo taj supremum  . Dakle, postoji  takav da  . Onda zbog neprekidnosti vrijedi i  . Kako je  za svaki (jer je  ), znamo da je  .
S druge strane, pogledajmo jednostavan niz  . On očito također konvergira u . Kako je supremum skupa (dakle, veći od svih članova tog skupa), onda su svi van skupa , pa vrijedi  . No, kako  , zbog neprekidnosti  , pa vrijedi  .
Kao rezultat, imamo  , pa vrijedi  i onda smo gotovi.
Evo, nadam se da je pomoglo .
|
|
| [Vrh] |
|
pupi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 12. 2009. (11:03:15)
Postovi: (92)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
eve
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 07. 2009. (23:07:06)
Postovi: (192)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
Milojko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol:
Lokacija: Hilbertov hotel
|
| Postano: 11:28 ned, 17. 1. 2010 Naslov: |
|
|
|
[quote="pupi"][quote] iz ove druge slijedi prva implikacija (raspiši malo ove apsolutne vrijednosti, one znaju bit zeznute često) sad je pomnožio obje strane sa eps * |c|. jer je delta bio manji od |c|/2 i eps * |c|^2/2,[/quote].... ovo bas i ne razumijem delta manji od oba ? cemu ovaj min ? to su dva slucaja ili sta... :?[/quote]
dobro, ovdje sam se krivo izrazio. delta je bio minimum od ta dva broja. koji je on, nije bitno. bitno je jedino da je |x-c| < delte, a kako je delta minimum od ta dva broja, onda je |x-c| < |c|/2 i |x-c| < eps*|c|^2/2 (jer je delta upravo jedan od ta dva broja). nisu to dva slučaja, neg je to više putova dolaska do konačnog rješenja.
| pupi (napisa): | | Citat: | | iz ove druge slijedi prva implikacija (raspiši malo ove apsolutne vrijednosti, one znaju bit zeznute često) sad je pomnožio obje strane sa eps * |c|. jer je delta bio manji od |c|/2 i eps * |c|^2/2, |
.... ovo bas i ne razumijem delta manji od oba ? cemu ovaj min ? to su dva slucaja ili sta...  |
dobro, ovdje sam se krivo izrazio. delta je bio minimum od ta dva broja. koji je on, nije bitno. bitno je jedino da je |x-c| < delte, a kako je delta minimum od ta dva broja, onda je |x-c| < |c|/2 i |x-c| < eps*|c|^2/2 (jer je delta upravo jedan od ta dva broja). nisu to dva slučaja, neg je to više putova dolaska do konačnog rješenja.
_________________ Sedam je prost broj
Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat |
|
| [Vrh] |
|
pupi
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 20. 12. 2009. (11:03:15)
Postovi: (92)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
suza
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 10. 2009. (14:37:50)
Postovi: (65)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
eve
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 07. 2009. (23:07:06)
Postovi: (192)16
Spol:
|
|
| [Vrh] |
|
marichuy
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 11. 2009. (21:52:56)
Postovi: (26)16
|
|
| [Vrh] |
|
jkrstic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2009. (19:28:31)
Postovi: (AC)16
Spol:
Lokacija: Somewhere in time
|
|
| [Vrh] |
|
|
