Definicija limesa funkcije u točki c

[Gost]

Definicija:
Reći ćemo da funkcija f:D_f->IR,D_f@IR i c@IR ima limes u c ako vrijedi:
i)(postoji d>0)takav da <c-d,c+d>\{c}podskupD_f
ii)(postoji L@IR)takav da ( {x_n} niz u <c-d,c+d>\{c} i limx_n=c -> limf(x_n)=L

Propozicija:
Neka je f:D_f->IR,D_f sadržana u IR i c@IR.Funkcija ima limes L u c akko vrijedi svojstvo:
(Aepsilon>0)(postoji delta >0)takav da(0<|x-c|<delta)->|f(x)-L|<epsilon)

Definicija kaže:
postojanjem intervala u domeni oko točke c koja ne mora biti u intervalu,postojat će konvergentan niz u tom istom intervalu(konvergentan niz na bilo kojem komadiću realnog pravca je uvijek ostvariv) koji teži točki c što će rezultirati time da preslikani članovi toga konvergentnog niza teže realnom broju L.

Propozicija kaže:
Za svaku malu udaljenost(na ordinati),postoji udaljenost(na apscisi) sa svojstvom da su točke oko točke c za manje od d udaljene od točke c što će za posljedicu imati da su funkcijske vrijednosti tih istih točaka oko c biti za manje od epsilon udaljene od realnog broja L.
Možda mi je malo čudno što nigdje nije simbolički naznačeno da su x-evi u domeni funkcije f!

Nevidim razliku između onoga što govore definicija i propozicija(osim onog akko),mislim govore isto samo ispisano malo drukčije,pa čemu onda potreba za propozicijom?

Zar je nužno da funkcijske vrijednosti elemenata domene moraju težiti nekom broju ako elementi domene kao članovi konvergentna niza teže nekom broju domene?

[defar]

pa, postoji razlika. prvo je definicija. nista se direktno ne govori o neprekidnosti funkcije f.
drugo je propozicija, koja je karakterizacija limesa.

_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'

[Gost]

Pa ni propozicija ne govori ništa o neprekidnosti funkcije,doista ništa!Nigdje u prpopoziciji se ne spominje da je L=f(c).

[vsego]

[Gost]

[/quote] Sto onda znaci "Funkcija ima limes L u c" ako ne "lim f(x) = L, za x→c"[/quote]

Rečenicu u citatu imamo i u definiciji limesa baš kao i u propoziciji.

Dakle,one oboje govore o neprekidnosti.
Sve ovisi o L-u,dali je on funkcijska vrijednost,ukoliko je,onda je funkcija neprekinuta u suprotnom ima prekid.
Uostalom,meni je riječ prekid nekako nezgodna jer odmah pomislim da se radi nedefiniranosti funkcije u točki c,a zapravo se radi o tome da smo ''podignuli olovku sa papira i graf funkcije nastavili crtati malko iznad ili ispod dosadašnjeg grafa''.

[vsego]

Laicki govoreci, da, ali...

Mozes dici olovku s papira, pomaknuti ju i crtati, a da funkcija ostane neprekidna (hint: domena koja je nepovezani skup).

Takodjer, moze se desiti i da L ne postoji. Tipican primjer funkcije koja ima prekid u svakoj tocki je:
f(x) = 1, x in |Q
f(x) = 0, x in |R\|Q
Dakle, karakteristicna funkcija skupa racionalnih brojeva.

Ta funkcija pada na tocki ii) definicije., a takodjer i na tvrdnji propozicije.

Ma, zapravo ov sto napisah nema neke veze s pocetnim, nego samo s prethodnim postom...

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[defar]

uh, jesmo se zapleli jer nam se ne da citat a ne mozemo drzat jezik za zubima:)
gle, prvo je definicija limesa. to je dovoljno reci da se zna sto je limes fje u tocki c iz domene.
drugo je propozicija koja kaze da je L iz kodomene limes fje u c (tocka iz domene) ako
f'(x):= ( L, x=c
f(X), inace )
je neprekidna funkcija.
to dvoje nije ISTO. procitaj jedno, pa drugo. nije isto.
moras malo raspisivat da bi dokazao da jedno slijedi iz drugog, i obratno.
ako mozes dokazat oba smjera, onda je to ekvivalentno, super.
cini mi se doduse da ce trebat jos neki zahtjevi na fju (opet sam lijena citat), tj
domenu/kodomenu.
onda je prop. jedna karakterizacija limesa funkcije f.

_________________
`To begin with, a dog's not mad. You grant that? 'Well, then,' the Cat went on, `you see, a dog growls when it's angry, and wags its tail when it's pleased. Now I growl when I'm pleased, and wag my tail when I'm angry. Therefore I'm mad.'