Kubna jednadžba - pomoć! (zadatak)

[Katastrofoid]

Može li mi itko rijesiti zadatak ili bar pojasniti kako ide :
Upotrebom teorema o međuvrijednosti pokažite da kubna jednadžba x3 + ax2 + bx + c = 0
ima barem jedan realan korijen.
Nista mi te matematicke formule ne znace....pa bi molio neku dobru dušu da odvoji malo vremena, bio bih zahvalan!
hvala unaprijed

[MI]

Mislim da bi to slijedilo iz toga da ako je z1 jedna kompleksna nultocka polinoma 3. stupnja tada je i z1konjugirano takodjer nultocka polinoma, pa iz toga sljedi da ako je polinom neparnog stupnja ima bar jednu realnu nultocku (jer kompleksne dolaze u paru)

[ante c]

al dali to vrijedi ako su i koeficijenti kompleksni

[Katastrofoid]

mislim da je tu kljucni naglasak na ovom teoremu o međuvrijednosti, treba neki interval vezan za potencije 3 i 2 (odnosno -3 i 2 po nekoj formuli ) te zatim izracunati kako je c u tome intervalu, tj. realan korijen....toliko sam pohvatao s predavanja al pojma nemam sto i kako...

[pbakic]

Koristimo cinjenicu da je polinom (u ovom slucaju 3. stupnja neprekidna funkcija) pa za njega na svakom segmentu vrijedi tm. o medjuvrijednosti (Bolzano/Weierstrass):
Neka je f(x1)=a, f(x2)=b. Tada za svaki c, a<c<b postoji x, x1<x2<x3 takav da je f(x)=c.

Sad pogledamo ovu funkciju, i vidimo da ona sigurno ima tocku gdje joj je vrijednost negativna (samo se uzme "dovoljno negativni" x1, pa je f(x1)<0).
Isto tako, postoji x2 za koji je f(x2) pozitivno. Sada je ocito f(x1)<0<f(x2), pa postoji x izmedju x1 i x2 takav da je f(x)=0

[Katastrofoid]

Hvala puno, to je odgovor koji sam tražio....također hvala i ostalima na pokušaju

Added after 17 minutes:

Ako bude volje i za ovaj zadatak....
Zadan je polinom neparnog stupnja F (x) = xn + an−1 x n−1 + ::: + a1x + a0.
Pokažite da jednadžba F (x) = 0 ima barem jedan realan korijen.

[pmli]

To ti je samo poopćenje onog prvog, tj. ista argumentacija prolazi i ovdje.

[Katastrofoid]

a koje su bitne razlike između ta dva zadatka? što onda konkretno traže u ovom? jer ovaj zad je odmah iza onog prije...tak da mi nije jasno cemu isto opet....?

[pmli]

Ne postoji bitna razlika. Ista argumentacija koju je pbakic dao prolazi i ovdje. Vjerojatno su stavili prvo polinom trećeg stupnja za "zagrijavanje".

Naravno, argumenti koje je pbakic iznio su na dosta intuitivnijoj razini. Trebaš/Želiš li nešto neintuitivnijih argumenata?

[Katastrofoid]

Što više to bolje

[Luuka]

Najlaše rečeno:

Pošto se radi o polinomu neparnog stupnja, onda je
pa onda postoji x1 t.d. F(x1)<0.
Vrijedi i pa postoji x2 t.d. F(x2)>0.

Jer je F neprekidna postoji x0, x1<x0<x2, t.d. F(x0)=0.

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy