teorijski zadatak vezan uz unitarne prostore, molim pomoc

[Gost]

M i N su potprostori unitarnog prostora U, a p i q projekcije na M i N. Treba pokazati da je (p kompozicija q)=nuloperator <=> M i N su ortogonalni potprostori.

[pbakic]

Za ortogonalne projektore opcenito vrijedi:

Svaki x iz U mozemo pisati na jedinstven nacin kao x=a+b, a iz M, b iz Mt (Mt=Mokomito)
tada je po def. Px=a (i ista tvrdnja za Q, N)

Ako su M i N medjusobno okomiti:

Imamo Qx=n je iz N, pa ga mozemo pisati kao Qx=0+n (0 iz M, n iz Mt, jer je N potprostor od Mt kad su M i N okomiti)
Operator P sad ocito djeluje na Qx=0+n tako da od njega ostavi samo onaj dio koji je iz M, tj 0 => PQx=0

Ako je PQx=0
Sada je ocito P(x)=0 za svaki x iz N
buduci je P(x)=0 akko je x okomit na M, zakljucujemo da je svaki vektor iz N okomit na M

[Gost]

puno hvala!