|
[quote="Anonymous"]imam jednadzbu koju ne mogu rijesiti (a mislim da bi trebalo biti jednostavno), a glasi
e^x=x^2, pliz nek mi netko sto prije javi.
thnx.[/quote]
Mnoge stvari izgledaju jednostavno, pa nisu. :-/ Ova jednadžba je transcendentna, i ne može se simbolički riješiti. No...
f(x):=e^x-x^2 . Tražiš nultočku od f .
f'(x)=e^x-2x . Ispitajmo tok od f' .
Njena derivacija je f''(x)=e^x-2 , nultočka nje je ln2 .
f'''(ln2)=e^ln2=2>0 , dakle f'(ln2)=2-2ln2 je lokalni minimum od f' .
Budući da je jedini, a f' je definirana na cijelom |R , prije ln2 je f'' padajuća, a nakon njega je rastuća, pa je to i globalni minimum. Dakle, f' je svuda >=2-2ln2 . 2<e , pa je ln2<1 , dakle 2-2ln2>0 . Odnosno, f'>0 , pa je f strogo rastuća i time injekcija - dakle, može imati najviše jednu nultočku.
S druge strane, f(-1)=1/e-1<0 ( e>1 , pa je 1/e<1 ), a f(0)=1-0=1>0 . f restringirana na [-1,0] je neprekidna funkcija na segmentu, na jednom kraju negativna a na drugom pozitivna, pa po B-W teoremu mora imati nultočku na [-1,0] . Skupa s ovim gore, f dakle ima jedinstvenu nultočku, odnosno tvoja jednadžba ima jedinstveno rješenje. Štoviše, znaš da se nalazi između -1 i 0 .
Simbolički ga (elementarnim funkcijama - zanima li te Lambert zaista?: ) ne možeš naći, ali numerički, Newtonova metoda sasvim dobro radi svoj posao. Ako te zanima, rješenje je približno -0.7034674225 .
| Anonymous (napisa): | imam jednadzbu koju ne mogu rijesiti (a mislim da bi trebalo biti jednostavno), a glasi
e^x=x^2, pliz nek mi netko sto prije javi.
thnx. |
Mnoge stvari izgledaju jednostavno, pa nisu. :-/ Ova jednadžba je transcendentna, i ne može se simbolički riješiti. No...
f(x):=e^x-x^2 . Tražiš nultočku od f .
f'(x)=e^x-2x . Ispitajmo tok od f' .
Njena derivacija je f''(x)=e^x-2 , nultočka nje je ln2 .
f'''(ln2)=e^ln2=2>0 , dakle f'(ln2)=2-2ln2 je lokalni minimum od f' .
Budući da je jedini, a f' je definirana na cijelom |R , prije ln2 je f'' padajuća, a nakon njega je rastuća, pa je to i globalni minimum. Dakle, f' je svuda >=2-2ln2 . 2<e , pa je ln2<1 , dakle 2-2ln2>0 . Odnosno, f'>0 , pa je f strogo rastuća i time injekcija - dakle, može imati najviše jednu nultočku.
S druge strane, f(-1)=1/e-1<0 ( e>1 , pa je 1/e<1 ), a f(0)=1-0=1>0 . f restringirana na [-1,0] je neprekidna funkcija na segmentu, na jednom kraju negativna a na drugom pozitivna, pa po B-W teoremu mora imati nultočku na [-1,0] . Skupa s ovim gore, f dakle ima jedinstvenu nultočku, odnosno tvoja jednadžba ima jedinstveno rješenje. Štoviše, znaš da se nalazi između -1 i 0 .
Simbolički ga (elementarnim funkcijama - zanima li te Lambert zaista?: ) ne možeš naći, ali numerički, Newtonova metoda sasvim dobro radi svoj posao. Ako te zanima, rješenje je približno -0.7034674225 .
|
