Komutatorska podgrupa? (objasnjenje gradiva)

[Gost]

Treba dokazati da je komutatorska podgrupa normalna podgrupa,zasto je dovoljno pokazati samo za generatore?
I ako moze uputa kako dokazati da vrijedi f^(-1)(f(G1))=G1 ako je f:G->H epimorfizam grupa, G1<G takva da je Kerf<G1
Hvala

[Gost]

[a,b] = a^(-1)b^(-1) a b (komutator).

Za bilo koji g iz G lako se vidi: [g^(-1) a g, g^(-1) b g] = g^(-1) [a,b] g,

zato je svaki element oblika g^(-1) [a,b] g i sam komutator, a svaki iz G' je umnožak generatora (ili njihovih inverza) pa npr ako su x,y generatori onda je g^(-1) xy g = (g^(-1) x g) (g^(-1) y g).


Drugo pitanje:
Zapravo, treba vidjeti da iz f(x) = f(g), pri čemu je g iz G1, a x iz G,
slijedi da je i x iz G1. No, odmah imamo f(g^(-1) x) = e (neutralni element) pa je g^(-1) x iz Ker f, a time i iz G1. Onda je x iz g G1 = G1.

[Tnt88]

Može li mi neko ispisati dokaz za [g^(-1) a g, g^(-1) b g] = g^(-1) [a,b] g?
Unapred hvala.

[Cobs]

komutator od a,b je po def:



pa je:



a to je jedanko: