limesi

[Gost]

Veli profa,dokažite sami ekvivalenciju:f ima limes u c akko f ima limes u c zdesna i limes u c slijeva.Kako to dokazati,tu očitost,ima li smisla ovako:
''->'' :
Pretpostavka:vrijedi definicija limesa L u točki c,moram dokazati da to povlači limes L u točki c slijeva i zdesna:
Definicija limesa:
Funkcija f ima limes L u točki c ako vrijedi:
(i) postoji otvoreni interval oko točke c u domeni
(ii) (postoji L@IR)takav da( {x_n} niz u <c-d,c+d>\{c} za koji vrijedi limx_n=c -> limf(x_n)=L
iz prvog svojstva definicije slijedi da imamo otvoreni slijeva od točke c
i sad neznam kako da dokažem da imamo niz u intervalu slijeva?Mislim,smijem li reći da onda sigurno imam podniz slijeva od c koji teži c jer ako imam članove niza koji s obje strane teže točki c onda sigurno točke s lijeve strane(članice niza) teže c baš kao i zdesne!

[vsego]

[vjekovac]

Ta tvdnja nije istinita. Trebala bi glasiti:
f ima limes u c akko f ima limes u c zdesna i limes u c slijeva te su oni jednaki.
Npr. funkcija signum ima u 0 limes slijeva =-1, limes zdesna =1, a nema (obostrani) limes u 0.

Tvrdnja ima trivijalni dokaz uz neke druge definicije limesa, ali pomocu nizova bi islo ovako:

Da bi imalo smisla govoriti o limesu od f u c funkcija f treba biti definirana na nekom intervalu oko tocke c, a da bi imalo smisla govoriti o lijevom i desnom limesu od f u c funkcija f mora biti definirana na nekom intervalu lijevo od c, <c-delta,c>, i na nekom intervalu desno od c, <c,c+epsilon>, sto je opet isto: <c-delta,c+epsilon>\{c}.

Pretpostavimo da f ima limes L u tocki c i da je definirana na <c-d,c+d>.
Tada za svaki niz (x_n) koji konv. prema c vrijedi da (f(x_n)) konv. prema L.
Uzmimo bilo koji niz (y_n) u <c-d,c> koji konvergira prema c. Specijalno prema prethodnom mora niz (f(y_n)) konvergirati prema L. Time je (po definiciji) pokazano da je L limes slijeva of f u c. Analogno za desni limes.

Obratno, pretpostavimo da je f definirana na <c-d,c+d> i da ima u tocki c limese slijeva i zdesna i oba su jednaki L.
To znaci da za svaki niz (x_n) u <c-d,c> koji konvergira prema c mora (f(x_n)) konvegrirati prema L, a isto mora vrijediti i za niz (x_n) u <c,c+d>.
Sada uzmimo niz (y_n) u <c-d,c+d> koji konvergira prema c.
Ako npr. lijevo od c ima samo konacno clanova niza, onda niz (y_n) mozemo redefinirati na prvih konacno clanova tako da dobijemo niz u <c,c+d> pa po pretpostavci (f(y_n)) konvergira prema L.
Ako i lijevo i desno od c ima beskonacno mnogo clanova niza onda oni formiraju podniz (u_n)=(y_p(n)) od (y_n) (samo izbacimo y-e koji su desno od c) i taj podniz opet mora konvergirati prema c, a clanovi desno od c formiraju podniz (v_n)=(y_q(n)) od (y_n) koji takodjer konvergira prema c.
Po pretpostavci nizovi (f(u_n)) i (f(v_n)) konvergiraju prema L. Uzmimo neki epsilon>0. Postoji n1 takav da za n>=n1 vrijedi |f(u_n)-L|<epsilon te postoji n2 takav da za n>=n2 vrijedi |f(v_n)-L|<epsilon.
Po konstrukciji se svaki prirodni broj pojavljuje tocno jednom od nizova (p(n)), (q(n)) i to tocno jednom.
Neka je n0 takav da su p(1),...,p(n1-1),q(1),...,q(n2-1) sadrzani u 1,...,n0-1.
Tada za m>=n0 vrijedi |f(y_m)-L|<epsilon, svejedno da li se m nalazi u nizu (p(n)) ili u nizu (q(n)).

Sve u svemu, ovo je trivic do na mahanje rukama i crtanje po ploci , ali je chupavo za napisati.

[vjekovac]

Ups, nisam skuzio da je vsego vec obrazlozio.
A eto, sad imas dva dokaza iste bedastoce.

[Gost]

Možete još samo potvrditi(ili ubiti) moju misao:

U definiciji limesa…mora postojati interval domene <c-d,c+d> i niz u njemu…

zaključak:
-moram imati niz čiji članovi s obje strane od točke c teže točki c!!!
-to povlači da imam niz(podniz niza koji slijeva ide prema c) koji ide slijeva prema c,a imam i niz(podniz niza koji s obje strane ide prema c) koji ide zdesna prema c

[vsego]

[Gost]

Hvala...sutra je strijeljanje(čitaj-usmeni),imam čet'ri pancirke i Frodo mi je posudio vilenjački oklop koji ga je spasio od pećinskog trola...šta mi vrijedi kad Šikić ima VBR(višecjevni bacaš raketa)