|
Evo, malo ću vam pomoći da riješite svoje konstrukcijske zadatke i ovako: : )
[b]Analiza i opis konstrukcije:[/b]
Nacrtajte trokut ABC kao da ga već imate, i pokušajte na njemu označiti sve elemente koje imate. Ako je zadana duljina stranice, označite ju i zaokružite oznaku, ako je zadana duljina visine, nacrtajte visinu, označite i zaokružite oznaku. Ako je zadan zbroj duljina stranica, b + c naprimjer, pokušajte na skici dodati još što i naći neku praktičnu dužinu te duljine (praktičnu u smislu da je u nekom bliskom odnosu s ostatkom skice, što će vam pomoći pri konstrukciji). Jednako ako je zadana razlika duljina, ili zbroj ili razlika kuteva. Zatim označite i to, i zaokružite. Ako imate neke sukladne dužine ili kuteve, označite i to...
Sada imate sve spremno za analizu. Stavite skicu pred sebe i gledajte u nju. : ) Imate označeno što je poznato, pogledajte što sve još možete odrediti iz toga što je poznato, i kojim redoslijedom. Možete zaključiti naprimjer da je neki trokutić jednakokračan, ili da su neka dva slična, ili da neka točka mora biti na nekoj kružnici ili pravcu, ili da je neki kut pola zadanog kuta, ili da ako puvučete simetralu, ona će proći baš nekom točkom koja vam treba, dodajte elemente na skicu ako su potrebni i analizirajte...
Možete si pomoći tako da konstrukciju krenete simbolički crtati korak po korak i ne crtate korake na istu skicu već svaki na posebnu, i razmišljate naprimjer ovako: imam ovaj kut, to mogu konstruirati, sada znam da je druga točka na jednom kraku, a treća na drugom kraku, imam i duljinu jedne stranice pa mogu naći točku kao presjek kružnice i kraka, aha, imam i visinu pa znam koliko je ova točka udaljena od stranice, a zato što je na kraku kuta, lako je dobijem kao presjek dva pravca, i slično.
Trebali biste dobiti slijed koraka kojima ćete doći do traženog trokuta. Ako nikako ne ide, pošaljite mi mail s pitanjem, ja ću vam dati uputu ili postaviti neko pitanje koje će vas usmjeriti tako da sami dođete do rješenja. Cilj je da zapnete i riješite problem, nešto tako naučite i razvijate vještinu i bistrinu matematičkog promišljanja.
[b]Konstrukcija:[/b]
Najprije prikažite zadane elemente. To znači da ćete, ako imate naprimjer zadane duljinu visine, razliku duljina dvije stranice i kut, na početku nacrtati dvije dužine i kut. Te ćete zadane mjere i duljine kasnije pri konstrukciji prenositi alatima Kut zadane veličine i Šestar. Tako na kraju kad alatom Pomicanje pomaknete neke početne točke i time promijenite zadani kut ili duljinu, konstrukcija će se također sukladno tome mijenjati (tj. plesati). Pokušajte previše se ne igrati s tim plesanjem jer možete izgubiti cijeli dan (kao ja).
Sada kreće konstrukcija, provedite korake koje ste smislili. Ako vam u konstrukciji ne treba zadani kut već kut 90 - alfa, njega prvo konstruirajte tamo gdje vam je zadani kut i onda taj novi kut prenesite. Jednako je sa (alfa + beta)/2, i tako dalje. Ako vam nije potrebna duljina koja je zadana već samo naprimjer trećina, opet, konstruirajte na zadanoj dužini točke tako da je podijelite na tri sukladna dijela, i onda samo jednu trećinu prenesite šestarom. Znate li kako se to radi?
Ako vam je pri konstrukciji potrebna tangenta, konstruirajte je onako kako biste šestarom i ravnalom, nemojte povlačiti tangentu alatom i ne znati kako biste to napravili sami kad dođete odgovarati. Znate li kako se konstruira tangenta?
Pretpostavljam da simetralu kuta i dužine znate napraviti, polovište naći, povući usporednicu s pravcem kroz točku, povući okomicu... to možete napraviti jednostavno alatom da se ne pojavi puno spam-kružnica u slici. A kompleksnije stvari konstruirajte sami.
[b]Dokaz:[/b]
Konstruirali ste neki trokut ABC. Da li je to *taj* trokut ABC? Možda ste konstruirali nešto sasvim drugo. Dokazom biste se trebali uvjeriti da ste dobro napravili.
Kako provesti dokaz? Dokaz je na neki način obratan od analize. U analizi ste imali zadane poznate vrijednosti i počevši od njih pokušavali naći neka svojstva trokuta koja će vam pomoći da otkrijete cijeli trokut konstrukcijom. Sada pak imate da trokut ima neka svojstva koja proizlaze iz konstrukcije, a trebate dokazati da ima ona svojstva koja su zadana.
Pokušajte prvo precizno napisati koje tvrdnje morate dokazati. Pravite se da je netko donio šestar i ravnalo i pred vama konstruirao trokut i sada vi morate provjeriti ima li taj trokut tražena svojstva, naprimjer, ima li duljinu stranice BC zaista a, je li dužina AN zaista okomita na BC i ima li duljinu v_a, spaja li zaista konstruirana wanna-be-težišnica vrh trokuta i polovište i da li je duljine t_b, da li se kad od duljine jedne konstruirane stranice AC oduzmemo duljinu druge konstruirane stranice AB zaista dobije naš broj b-c. Pritom koristite ono što je o trokutu poznato iz konstrukcije. Kada dokažete sve, bit ćete sigurni da je konstrukcija dobra.
Ako se zapetljate, pišite mi.
[b]Rasprava:[/b]
Za neke početne vrijednosti zadatak nema rješenje, naprimjer, ako su vam među ostalim zadane duljine v_a i b, nećete nikako moći napraviti trokut ako je v_a veći od b. Za neke uvjete na zadane vrijednosti postoje dva, za neke jedno, za neke nijedno rješenje.
Kako naslutiti za koje uvjete rješenje postoji i kako za koje je jedinstveno? Tu vam pomaže konstrukcija koju ste napravili.
Krenite polako i pažljivo kroz korake konstrukcije i gledajte kada će vam konstrukcija zapeti, kada slijedi na jedinstven način, a kada vam se račva u dva smjera. Naprimjer, ako u nekom koraku dobijete točku kao presjek dva pravca, možda pravci mogu biti paralelni i tada nemate točku. Mogu li biti paralelni? Za koje uvjete na početne vrijednosti jesu? Ili nikad nisu i uvijek imate presjek? Ili, naprimjer, ako u nekom koraku imate točku kao presjek kružnice i pravca, što ako se pravac i kružnica ne sijeku? Mogu se sijeći i u jednoj ili dvije točke. Kada se sijeku u jednoj, kada u dvije točke, a kada se ne sijeku? Zatim, ako i jesu dvije točke, je li možda cijela situacija u tom trenutku simetrična pa možemo uzeti da je samo jedna? Isto se događa s presjekom dvije kružnice, naprimjer, ili kad konstruirate tangentu na kružnicu. Tako ćete naći uvjete na početne vrijednosti pri kojima trokut postoji, a od njih kada je jedinstven i kada nije.
Provjerite još na kraju, ako imate zadan neki kut, što se događa kad je kut tup, jer nekad se mijenjaju odnosi i nije to lako vidjeti iz skice sa šiljastim kutom, a svi radimo skice sa šiljastim kutom.
To sve biste mogli i dokazati, ali to ne morate raditi. Kažem da se to može i dokazati da biste bili svjesni da zaključci koje ste izveli još nisu dokazani, i da ovo nije precizan dokaz egzistencije i jedinstvenosti uz uvjete. Kad biste dokazali, onda biste tek mogli biti potpuno sigurni da je rasprava u redu. Ali ovo je dovoljno, dovoljno uvjerite sebe i onda možete i mene.
I opet, ako se zapetljate, pišite. Imam savjet. Nijedno pitanje nije glupo ako ste prije njega sami dobro razmislili o problemu i niste došli do odgovora. Ako postavite pitanje, a prije toga niste razmislili, istražili i pokušali sami doći do odgovora, to izgleda kao da svoje vrijeme cijenite više od vremena onoga koga pitate i, uz to, dobiti odgovor bez razmišljanja ne koristi vam. Ako jeste razmislili i onda pitate, to znači da želite učiti, a to je jako super, i to se vidi. Tako sam i ja puno naučila od drugih. : )
[b]Konzultacije:[/b]
Na konzultacije ponosno donesite svoj papir na koji ste napisali svoje ime, zadatak i zaključke (analizu, dokaz i raspravu). Pokazat ćete što ste napravili, objasniti konstrukciju, dokaz i raspravu. Konzultacije su petkom, i dodatne utorkom i srijedom:
Utorak 13 - 13:45,
Srijeda 13 - 13:45,
Petak 14 - 15 & 17 - 18.
Možda ću dolaziti na fakultet i ranije tih dana, ako bude potrebno, sada kad je puno predaja konstrukcijskih zadataka. Najavite se kad ćete doći, čini se da sada tjedno upiti da pošaljem zadatak dolaze u kvantima od 18 mailova pa bi bilo previše kad biste se svi pojavili u isto vrijeme. Ako vam je zadatak lijep, recite mi to jer sam ga smislila za vas (na neke sam baš ponosna). : )
Pitanja su dobrodošla o ovome što sam napisala, jer uputa onda može i evoluirati.
Lijep pozdrav! : )
Evo, malo ću vam pomoći da riješite svoje konstrukcijske zadatke i ovako: : )
Analiza i opis konstrukcije:
Nacrtajte trokut ABC kao da ga već imate, i pokušajte na njemu označiti sve elemente koje imate. Ako je zadana duljina stranice, označite ju i zaokružite oznaku, ako je zadana duljina visine, nacrtajte visinu, označite i zaokružite oznaku. Ako je zadan zbroj duljina stranica, b + c naprimjer, pokušajte na skici dodati još što i naći neku praktičnu dužinu te duljine (praktičnu u smislu da je u nekom bliskom odnosu s ostatkom skice, što će vam pomoći pri konstrukciji). Jednako ako je zadana razlika duljina, ili zbroj ili razlika kuteva. Zatim označite i to, i zaokružite. Ako imate neke sukladne dužine ili kuteve, označite i to...
Sada imate sve spremno za analizu. Stavite skicu pred sebe i gledajte u nju. : ) Imate označeno što je poznato, pogledajte što sve još možete odrediti iz toga što je poznato, i kojim redoslijedom. Možete zaključiti naprimjer da je neki trokutić jednakokračan, ili da su neka dva slična, ili da neka točka mora biti na nekoj kružnici ili pravcu, ili da je neki kut pola zadanog kuta, ili da ako puvučete simetralu, ona će proći baš nekom točkom koja vam treba, dodajte elemente na skicu ako su potrebni i analizirajte...
Možete si pomoći tako da konstrukciju krenete simbolički crtati korak po korak i ne crtate korake na istu skicu već svaki na posebnu, i razmišljate naprimjer ovako: imam ovaj kut, to mogu konstruirati, sada znam da je druga točka na jednom kraku, a treća na drugom kraku, imam i duljinu jedne stranice pa mogu naći točku kao presjek kružnice i kraka, aha, imam i visinu pa znam koliko je ova točka udaljena od stranice, a zato što je na kraku kuta, lako je dobijem kao presjek dva pravca, i slično.
Trebali biste dobiti slijed koraka kojima ćete doći do traženog trokuta. Ako nikako ne ide, pošaljite mi mail s pitanjem, ja ću vam dati uputu ili postaviti neko pitanje koje će vas usmjeriti tako da sami dođete do rješenja. Cilj je da zapnete i riješite problem, nešto tako naučite i razvijate vještinu i bistrinu matematičkog promišljanja.
Konstrukcija:
Najprije prikažite zadane elemente. To znači da ćete, ako imate naprimjer zadane duljinu visine, razliku duljina dvije stranice i kut, na početku nacrtati dvije dužine i kut. Te ćete zadane mjere i duljine kasnije pri konstrukciji prenositi alatima Kut zadane veličine i Šestar. Tako na kraju kad alatom Pomicanje pomaknete neke početne točke i time promijenite zadani kut ili duljinu, konstrukcija će se također sukladno tome mijenjati (tj. plesati). Pokušajte previše se ne igrati s tim plesanjem jer možete izgubiti cijeli dan (kao ja).
Sada kreće konstrukcija, provedite korake koje ste smislili. Ako vam u konstrukciji ne treba zadani kut već kut 90 - alfa, njega prvo konstruirajte tamo gdje vam je zadani kut i onda taj novi kut prenesite. Jednako je sa (alfa + beta)/2, i tako dalje. Ako vam nije potrebna duljina koja je zadana već samo naprimjer trećina, opet, konstruirajte na zadanoj dužini točke tako da je podijelite na tri sukladna dijela, i onda samo jednu trećinu prenesite šestarom. Znate li kako se to radi?
Ako vam je pri konstrukciji potrebna tangenta, konstruirajte je onako kako biste šestarom i ravnalom, nemojte povlačiti tangentu alatom i ne znati kako biste to napravili sami kad dođete odgovarati. Znate li kako se konstruira tangenta?
Pretpostavljam da simetralu kuta i dužine znate napraviti, polovište naći, povući usporednicu s pravcem kroz točku, povući okomicu... to možete napraviti jednostavno alatom da se ne pojavi puno spam-kružnica u slici. A kompleksnije stvari konstruirajte sami.
Dokaz:
Konstruirali ste neki trokut ABC. Da li je to *taj* trokut ABC? Možda ste konstruirali nešto sasvim drugo. Dokazom biste se trebali uvjeriti da ste dobro napravili.
Kako provesti dokaz? Dokaz je na neki način obratan od analize. U analizi ste imali zadane poznate vrijednosti i počevši od njih pokušavali naći neka svojstva trokuta koja će vam pomoći da otkrijete cijeli trokut konstrukcijom. Sada pak imate da trokut ima neka svojstva koja proizlaze iz konstrukcije, a trebate dokazati da ima ona svojstva koja su zadana.
Pokušajte prvo precizno napisati koje tvrdnje morate dokazati. Pravite se da je netko donio šestar i ravnalo i pred vama konstruirao trokut i sada vi morate provjeriti ima li taj trokut tražena svojstva, naprimjer, ima li duljinu stranice BC zaista a, je li dužina AN zaista okomita na BC i ima li duljinu v_a, spaja li zaista konstruirana wanna-be-težišnica vrh trokuta i polovište i da li je duljine t_b, da li se kad od duljine jedne konstruirane stranice AC oduzmemo duljinu druge konstruirane stranice AB zaista dobije naš broj b-c. Pritom koristite ono što je o trokutu poznato iz konstrukcije. Kada dokažete sve, bit ćete sigurni da je konstrukcija dobra.
Ako se zapetljate, pišite mi.
Rasprava:
Za neke početne vrijednosti zadatak nema rješenje, naprimjer, ako su vam među ostalim zadane duljine v_a i b, nećete nikako moći napraviti trokut ako je v_a veći od b. Za neke uvjete na zadane vrijednosti postoje dva, za neke jedno, za neke nijedno rješenje.
Kako naslutiti za koje uvjete rješenje postoji i kako za koje je jedinstveno? Tu vam pomaže konstrukcija koju ste napravili.
Krenite polako i pažljivo kroz korake konstrukcije i gledajte kada će vam konstrukcija zapeti, kada slijedi na jedinstven način, a kada vam se račva u dva smjera. Naprimjer, ako u nekom koraku dobijete točku kao presjek dva pravca, možda pravci mogu biti paralelni i tada nemate točku. Mogu li biti paralelni? Za koje uvjete na početne vrijednosti jesu? Ili nikad nisu i uvijek imate presjek? Ili, naprimjer, ako u nekom koraku imate točku kao presjek kružnice i pravca, što ako se pravac i kružnica ne sijeku? Mogu se sijeći i u jednoj ili dvije točke. Kada se sijeku u jednoj, kada u dvije točke, a kada se ne sijeku? Zatim, ako i jesu dvije točke, je li možda cijela situacija u tom trenutku simetrična pa možemo uzeti da je samo jedna? Isto se događa s presjekom dvije kružnice, naprimjer, ili kad konstruirate tangentu na kružnicu. Tako ćete naći uvjete na početne vrijednosti pri kojima trokut postoji, a od njih kada je jedinstven i kada nije.
Provjerite još na kraju, ako imate zadan neki kut, što se događa kad je kut tup, jer nekad se mijenjaju odnosi i nije to lako vidjeti iz skice sa šiljastim kutom, a svi radimo skice sa šiljastim kutom.
To sve biste mogli i dokazati, ali to ne morate raditi. Kažem da se to može i dokazati da biste bili svjesni da zaključci koje ste izveli još nisu dokazani, i da ovo nije precizan dokaz egzistencije i jedinstvenosti uz uvjete. Kad biste dokazali, onda biste tek mogli biti potpuno sigurni da je rasprava u redu. Ali ovo je dovoljno, dovoljno uvjerite sebe i onda možete i mene.
I opet, ako se zapetljate, pišite. Imam savjet. Nijedno pitanje nije glupo ako ste prije njega sami dobro razmislili o problemu i niste došli do odgovora. Ako postavite pitanje, a prije toga niste razmislili, istražili i pokušali sami doći do odgovora, to izgleda kao da svoje vrijeme cijenite više od vremena onoga koga pitate i, uz to, dobiti odgovor bez razmišljanja ne koristi vam. Ako jeste razmislili i onda pitate, to znači da želite učiti, a to je jako super, i to se vidi. Tako sam i ja puno naučila od drugih. : )
Konzultacije:
Na konzultacije ponosno donesite svoj papir na koji ste napisali svoje ime, zadatak i zaključke (analizu, dokaz i raspravu). Pokazat ćete što ste napravili, objasniti konstrukciju, dokaz i raspravu. Konzultacije su petkom, i dodatne utorkom i srijedom:
Utorak 13 - 13:45,
Srijeda 13 - 13:45,
Petak 14 - 15 & 17 - 18.
Možda ću dolaziti na fakultet i ranije tih dana, ako bude potrebno, sada kad je puno predaja konstrukcijskih zadataka. Najavite se kad ćete doći, čini se da sada tjedno upiti da pošaljem zadatak dolaze u kvantima od 18 mailova pa bi bilo previše kad biste se svi pojavili u isto vrijeme. Ako vam je zadatak lijep, recite mi to jer sam ga smislila za vas (na neke sam baš ponosna). : )
Pitanja su dobrodošla o ovome što sam napisala, jer uputa onda može i evoluirati.
Lijep pozdrav! : )
_________________
Martina Stojić
|
