Podsjećam da će se 2. kolokvij održati u četvrtak 24. lipnja 2010.
u 12 sati.
Kao što sam najavio, za kolokvij se treba djelomično pripremiti kroz
zadatke koji će ovdje biti navedeni, a s kojima će zadaci na kolokviju biti
usko povezani. Dakle, to je zapravo domaća zadaća koja je ujedno i priprema za kolokvij.
KONAČNE GEOMETRIJE 15. lipnja 2010.
1. Konstruirajte 2-(15,3,1) dizajn i njegovu dualnu strukturu, kao pripremu
za zadatak iz NAGTA. Ovaj dizajn može se konstruirati izravno
kombinatorički, bez nekih posebnih metoda. Preporučljivo je da napišete
dizajn u nekim svojim oznakama, radi razlikovanja od tuđih rješenja.
2. Neka je A incidencijska matrica (točke – retci, pravci – stupci)
projektivne ravnine reda n, dakle matrica je reda v = n^2 + n + 1.
Razmatrat će se binarni linearni kod C razapet stupcima matrice,
kao potprostor prostora V = F^v (F je polje Z2 s elementima 0 i 1,
operacije modulo 2).
Neka je dim C = r. C je dakle (v,r)-kod.
Označimo stupce matrice A, kao vektore iz V, s a_1,...,a_v.
S w je označena težina vektora, dakle broj koordinata različitih od 0.
Označimo s * operaciju množenja vektora po koordinatama, tj.
za x, y iz V definira se x * y kao vektor kojem je pojedina koordinata
(obični, a time i u polju F) umnožak odgovarajućih koordinata od x i y.
Tada je w(x * y ) jednak broju “zajedničkih” koordinata jednakih 1 u
x i y.
(a) Dokažite formulu:
w(x + y) = w(x) + w(y) – 2 w(x * y ).
Uočite da za neparnu vrijednost n težina w(a_j) = n+1 je paran broj.
(b) Izračunajte ∑ a_j (po svim j od 1 do v), za n paran i n neparan.
Izračunajte ∑ a_j po onim vektorima koji odgovaraju pravcima kroz
jednu (bilo koju točku). Uočite da je rezultat vektor koji pripada kodu C
(kao potprostoru, zatvorenom na zbrajanje vektora).
(c) Uočite da u cijelom prostoru V polovica vektora je parne, a
polovica neparne težine, tj. ima ih po 2^(v-1) (dokažite to).
Dokažite da se za neparnu vrijednost n kod C podudara s
potprostorom
svih vektora parne težine u V. (Napomena: zbog toga u
tom slučaju kod
C pridružen ravnini ne daje ništa zanimljivo).
Nadalje, u V uvodimo kvaziskalarni produkt uobičajenom formulom –
zbroj umnožaka koordinata, ali modulo 2, dakle rezultat je 0 ili 1.
Označimo tu operaciju <x,y>. Očito je ona linearna u oba argumenta.
Kažemo da su x i y ortogonalni ako je <x,y> = 0.
Uočite da to vrijedi ako
i samo ako je w(x * y) paran broj.
Uočite da je vektor x parne težine ako i samo ako je <x,x> = 0.
Za kod C uvodimo C*, dualni kod, kao
C* = { x iz V : <a,x> = 0 za svaki a iz C}.
(d) Dokažite da je C* također kod i da je dim C* = v – r (r = dim C).
