Dokaz osn. teorema algebre (objasnjenje gradiva)

[krcko]

Na danasnjem predavanju postavljeno je pitanje o dokazu osnovnog teorema algebre. Gradivo EM1 ukljucuje samo iskaz teorema, a ne dokaz, ali za one koje zanima nasao sam zgodan clanak koji objasnjava razne dokaze:

http://www.uccs.edu/~rgressle/Papers%20and%20Links_files/FTA.pdf

Meni je najsimpaticniji onaj koji koristi Liouvilleov teorem. To mi je bio jedan od najdrazih teorema iz kompleksne analize (koja je cijela lijepa), a OTA stvarno jednostavno slijedi iz njega.

Malo me zbunio dokaz s pomocu Galoisove teorije. Obicno se kaze da se OTA ne moze dokazati bez koristenja analize, a taj dokaz mi se cini potpuno algebarski (ali je jedan od kompliciranijih). Wikipedia u uvodu takodjer kaze da se mora koristiti potpunost realnih brojeva. U cjelini o algebarskim dokazima kratko opisuje dokaz pomocu Galoisove teorije, ali ja ne vidim gdje tu ulazi potpunost.

Zanimljiva je i povjest dokazivanja OTA o kojoj mozete vise procitati ovdje.

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[rafaelm]

[krcko]

A to se ne moze dokazati bez potpunosti? Znaci da bismo umjesto aksioma potpunosti mogli uzeti rjesivost jednadzbi neparnog stupnja i tako do kraja "algebraizirati" aksiome realnih brojeva

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.

[rafaelm]

Pa ako bi mogli pokazati to za R bez korištenja potpunosti ili nekog ekvivalenta, onda bi možda mogli isti dokaz kopirati i za Q, a tu ne vrijedi za sve polinome neparnog stupnja.

[satja]

može li se svaki algebarski broj prikazati kao elementarna funkcija konačno mnogo cijelih brojeva?

[krcko]

Ne moze, zbog Abel-Ruffinijeva teorema. Doduse teorem govori samo o zbrajanju, mnozenju, dijeljenju i korijenovanju, a ne o trigonometrijskim, eksponencijalnim i drugim elementarnim funkcijama. Bez previse razmisljanja moj dojam je da ni te funkcije ne bi pomogle. Za jednadzbe petog stupnja pomogle bi neke specijalne funkcije (klik).

_________________
Vedran Krcadinac

Ljudi su razliciti, a nula je paran broj.