Kartezijev produkt 3 skupa?

[Shirohige]

Piše u knjizi (EM1 - Veljan) da se produkt od 2 skupa definira kao uređeni par,
(x, y) == { {x}, {x, y} }

E sad mene muči ovaj drugi zapis, googlajući sam pronašao da je to ovo:
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair#Kuratowski_definition

A mene zanima zašto se to tako definira tj. vidim da ima različitih definicija produkta dva skupa, a koja je prednost tj. što se postiže s takvim zapisom?

Druga stvar je produkt više skupova, npr. 3, raspisao sam kako je navedeno u knjizi i dobio:
(x, y, z) == (x, (y, z)) == (x, { {y}, {y, z} }) == { {x}, { {x}, { {y}, {y, z} } } }

A kako formalno dokazati da je { {x}, {x, y}, {x, y, z} } netočan zapis produkta 3 skupa?

Zahvaljujem unaprijed na odgovoru!

[vsego]

Pobrkao si uredjeni par dva objekta i kartezijev produkt skupova (skup svih uredjenih parova gdje je prvi element iz prvog skupa, a drugi iz drugog).

Uzevsi to u obzir, zbunjuje li te jos uvijek nesto u toj prici?

Inace, [tex](x, y, z)[/tex] i [tex](x, (y, z))[/tex] nisu jednaki objekti. Recimo da su [tex]x,y,z \in \mathbb{R}[/tex], da bude lakse pricati. Tada je ovo prvo uredjena trojka tri realna broja, a ovo drugo je uredjeni par jednog realnog broja i jednog uredjenog para dva realna broja. Ocito, izmedju skupa svih prvih i svih drugih postoji bijekcija, ali to svejedno nisu jednaki objekti.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Shirohige]

[vsego]

Hmda, zaboravih na taj detalj, sorry.

Dakle, recimo da je prva definicija ok, tj. [tex](x,y,z) := \{ \{x\}, \{x, y\}, \{x, y, z\} \}[/tex]. Odatle imamo:
[tex](x, y, x) = \{ \{x\}, \{x, y\}, \{x, y, x\} \} = \{ \{x\}, \{x, y\} \} = \{ \{x\}, \{x, y\}, \{x, y, y\} \} = (x, y, y)[/tex],
sto bismo valjda htjeli izbjeci.

Cijela prica oko tog zapisa (i drugih koje si nasao tamo na Wikipediji) je tu zbog uvodjenja pozicija elemenata. U skupu nemas "prvog", "drugog",... dok u uredjenim n-torkama imas. Definiciju moras napraviti tako da se permutirane n-torke razlikuju (tj. da ti se ne desi ovo iz mog primjera ili nesto slicno).

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Shirohige]

[vsego]

Tako je.

Ne treba prica s uredjenim parovima toliko zbunjivati. [tex]\{\{ x \}, \{ x, y \}, \{ x, y, x \} \}[/tex] je skup. "Slucajno" je preko njega (krivo) definirana neka uredjena trojka, ali to je i dalje samo neki skup, jednako kao sto su i njegovi elementi skupovi. Dakle, sve sto znas za skupove, vrijedi i za njih 4 (cijeli skup i njegova 3 elementa koji su i sami skupovi).

Dakle, za zadnji "mali" skup vrijedi i da je
[tex]\{ x, y, x \} = \{ x, y \}[/tex],
tj. jednak je drugom "malom" skupu (pricam opisno: u stvarnosti, u skupu nema redoslijeda, pa ne postoje "prvi", "drugi" i "treci").

Ovo sto smo dobili mozemo uvrstiti u "veliki" skup, pa je
[tex]\{\{ x \}, \{ x, y \}, \{ x, y, x \} \} = \{\{ x \}, \{ x, y \}, \{ x, y \} \}[/tex].

Posto je "veliki" skup opet skup, opet je svejedno koliko puta napisemo isti element, pa je:
[tex]\{\{ x \}, \{ x, y \}, \{ x, y, x \} \} = \{\{ x \}, \{ x, y \}, \{ x, y \} \} = \{\{ x \}, \{ x, y \} \}[/tex].

Primijeti: nigdje u svemu ovome nisam iskoristio da to dolazi od nekakvih uredjenih parova. Jednostavno, imam neke skupove i radim s njima ono sto se sa skupovima i inace radi.

P.S. Prije nisam naveo da gornji "dokaz" daje jos jedan zakljucak koji bas i ne bismo zeljeli: [tex](x,y,x) = (x,y,y) = (x,y)[/tex].

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[Shirohige]

Zahvaljujem još jednom na odgovorima, evo odmah i jedna sarma.