Prvi zadatak, kolokvij

[CROmpir]

Niz je zadan rekutzivno

a(n+2)=1/4*a(n+1)*a(n)+1/3, a1=a2=0

konvergentan i limes?

Zanima me da li dobro rjesavam ovaj tip...

1. provjerimo da ide ovako 0,0,1/3,1/3... (raste)

2. a(n)⇐a(n+1)

BAZA: a1=0 ⇐ a2=0 i a2=0⇐a3=1/3

PRETP: za neki n iz N:

a(n)⇐a(n+1) i a(n-1)⇐a(n)

KORAK: a(n+1)⇐a(n+2) ⇔ 1/4*a(n)*a(n-1)+1/3 ⇐ 1/4*a(n+1)*a(n)+1/3

⇔ a(n)*a(n-1)⇐a(n+1)*a(n)

pretp + a(n)>=0 za svaki n iz N ⇒ a(n-1)*a(n)⇐a(n)*a(n+1)
⇒ a(n)⇐a(n+1) i a(n+1)⇐a(n+2)



⇒ KANDIDATI ZA GORNJU MEĐU:

L=-(1/4)L^2 +1/3

L1= (6+2*sqrt(6))/3 i L2=(6-2*sqrt(6))/3)



I sad jos trebam provjerit granicu, no tu nastaje problem jer neznam

Moze pomoc? Ako je netko voljan da me ispravi.... Hvala

Added after 4 minutes:

A da shvatio sam... No neznam da li je to tocno...

Tvrdimo da je a(n)⇐2 za svaki n iz N:

BAZA: a1=0 ⇐2
a2=0 ⇐2

PRETP: a(n) i a(n+1)⇐2

KORAK: a(n+2)=(1/4)*a(n+1)*a(n) + (1/3) = 1+1/3 ⇐2

dakle, lim (a(n))= 2- (2*sqrt(3))/3, tj. onaj L2...

Added after 38 seconds:

Jesam li rjesio zadatak tocno i ima li greske gdje?

[Flame]

Postupak je korektan, s tim da bi trebalo dokazati da je niz nenegativan. Jes da je ocito, ali to je 3 reda indukcije

I cini mi se da ti limes nije dobar, da bi islo

[Tomislav]

Sto se tice tih određivanja koji je od L_1,L_2 pravi limes, recimo da je L_1 <L_2. Sada pretpostavi da je L_1 pravi limes, pa pokusaj to indukcijom pokazati, ako ide, onda super nasao si limes. Ako ne, onda odmah znas da je ovo drugo pravi limes (sto niti netrebas dokazivati).

[CROmpir]

Oh da... Pogreska tokom pisanja hvala