Zadaci s popravnog kolokvija iz 2010. (informacija)

[Juraj Siftar]

Zahvaljujući kolegici Dariji Štimac koja je pronašla primjerak
popravnog kolokvija iz 2010., evo tih zadataka:



1) Neka je T: M2(R) --->M2(R) preslikavanje zadano tako da je matrici
A pridružena matrica koja na dijagonali ima 0, a na ostalim mjestima
iste koeficijente kao A. Dokažite da je T linearni operator, odredite mu
rang i defekt (navedite pritom neke baze za jezgru i sliku).
Jesu li potprostori J(T) i S(T) jednaki?

2)
Odredite ortogonalnu projekciju vektora x = (3,-5,7,-1)
na potprostor L < R4, L = {(x1,x2,x3,x4: x1 + x2 + x3 + x4 = 0}.
Napišite, u po volji odabranoj bazi, matricu operatora ort.
projekcije na potprostor L.
Također napišite matricu tog operatora u kanonskoj bazi prostora R4.
Napišite spektar te algebarske i geometrijske kratnosti svih
svojstvenih vrijednosti tog operatora.

3) Neka je (a1*,a2*,a3*) dualna baza baze a1=(-1,1,1),
a2=(1,-1,1), a3=(1,1,-1) prostora R3, a (e1*,e2*,e3*)
dualna baza kanonske baze istog prostora. Pokažite da vrijedi:
a1* + a2* + a3* = e1* + e2* + e3*.

4) Odredite svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore linearnog
operatora F: P2 ---> P2, zadanog s F(p) = p(-1) + p(0)t + p(1)t^2.
(Sv. vektore napišite kao polinome).

5) Definirajte unitarni prostor (što obuhvaća i definiciju
skalarnog množenja). Napišite Cauchy-Schwarzovu nejednakost
u općem obliku (tj. za opći unitarni prostor).

6) Neka je A linearni operator na vektorskom prostoru V i neka
su (e) i (e') dvije baze od V. Dokažite da su matrice operatora
A u bazama (e) i (e') međusobno slične.

Bodovi: 1 - 20, 2 - 25, 3 - 15, 4 - 20, 5 - 10, 6 - 10.

[Anna Lee]

Ako netko rjesava...

3. zadatak
a1, a2 i a3 stavim u matricu i dobijem

a1*=[0 1/2 1/2]
a2*=[1/2 0 1/2]
a3*=[1/2 1/2 0]

e1*=[1 0 0]
e2*=[0 1 0]
e3*=[0 0 1]

i onda se izjednaci i vidi da je jednako.
jel se to to?

_________________
"The tooth fairy teaches children that they can sell body parts for money."

[jackass9]

@Anna Lee: trebalo bi to biti to...a i jednake su lijeva i desna strana pa bi trebalo bit dobro

[Anna Lee]

okej, hvala puno. nekak mi je prejednostavno izgledalo

_________________
"The tooth fairy teaches children that they can sell body parts for money."

[Anna Lee]

Moze opet meni pomoc?

Rijesite rekurzivnu jednadzbu
a(n+2) = 3a(n+1) - a(n);
n >= 0;
s pocetnim uvjetima a0 = 2, a1 = 3.

Kak dobijem onu matricu A?
Mislim da mi nije jasno kak se inace u takvim zadacima dobiva takva matrica, ovdje bi ju jos znala zapisat, al ne mogu si precizno objasnit zasto je to tako.

_________________
"The tooth fairy teaches children that they can sell body parts for money."

[jackass9]

[Buga.]

[Anna Lee]

Joj super, hvala puno.

Pa sta samo ja imam pitanja? Vec mi je neugodno

Ajde sad kad vam tak dobro ide, rijesite mi jos jedan

2. kolokvij od ove godine, 1. a

http://web.math.hr/nastava/ela/la2/zadace2010-11/kolla22.pdf

_________________
"The tooth fairy teaches children that they can sell body parts for money."

[pravipurger]

pa imaš rješenje toga. u prvi stupac ide t(a1) dakle 1 0 u drugi t(a2) 1 -1 te treći 1 1
dakle
1 1 1
0 -1 1

_________________
No, you clearly don’t know who you’re talking to, so let me clue you in: I am not in danger, Skylar. I am the danger. A guy opens his door and gets shot and you think that of me? No. I am the one who knocks.

[jackass9]

[miciii]

jel moze informacija kad da ocekujemo rezultate popravnog?

[Juraj Siftar]

Vjerojatno oko 3 ujutro. Ili oko 5. Ili 5:30. Ili...zzzzz.

J. Šiftar

[Swerz]

Kome da sad dam sarmu?
Profesore, registrirajte se na forum .

_________________
Though your dreams be tossed and blown...

[Juraj Siftar]

Hm, zar nemate dovoljno problema sa svojom "sarmom" ?

[Buga.]

hahahah

[ELESSAR]

hahahahahaha ovo je za sarmu, musaku, lazanje i palentu!
mda...

_________________
".... ..." - Cee Lo Green