|
Umm, jel možda misliš na osam točaka spomenutih [url=http://web.math.hr/nastava/analiza/files/ch1_9.pdf]tu[/url]?
Ako da, dosta je to posla :D Ajde onda reci kako ti funkcija izgleda - je li [latex]\displaystyle\ln (\frac{2x-1}{3x+2})[/latex] ili [latex]\displaystyle\frac{\ln(2x-1)}{3x+2}[/latex]?
Pretpostavljam da se radi o prvoj opciji: u tom slučaju, za prvu točku (određivanje domene) moraš imati [latex]x\neq -2/3[/latex] i [latex]\displaystyle\frac{2x-1}{3x+2}>0[/latex]. Nije teško pokazati (pitaj ako treba pomoć) da to stoji za [latex]x>1/2[/latex] i za [latex]x<-2/3[/latex].
Lako se vidi da funkcija nije ni parna ni neparna ([latex]f(1)=\displaystyle\ln(\frac{1}{5})[/latex], a [latex]f(1)=\ln 3[/latex]). Nadalje, ona nije ni periodična (ako periodičnost i parnost/neparnost imaju uopće smisla na ovakvoj "kljastoj" domeni): naime, možeš pokazati (ponovno, reci ako treba pomoći) da je [latex]f[/latex] strogo rastuća na [latex]\langle 0.5, +\infty\rangle[/latex].
Naravno (jer se radi o kompoziciji i kvocijentu elementarnih funkcija), naša je funkcija neprekidna svugdje gdje je definirana. Nultočke joj je lagano naći: naprosto riješi [latex]\displaystyle\ln (\frac{2x-1}{3x+2})=0[/latex] iz čega dobivaš [latex]x=-3[/latex]. Što se monotonosti i ekstrema tiče, funkcija je strogo rastuća i na "lijevoj" poddomeni, kao i na "desnoj" (to dokažeš lako, pitaj ako treba :)). Dakle, na lijevoj poddomeni je supremum [latex]\displaystyle\lim_{x\to (-2/3)-} f(x)=+\infty[/latex], a infimum [latex]\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ln(\frac{2}{3})[/latex]. Na desnoj poddomeni je infimum [latex]\displaystyle\lim_{x\to (1/2)+} f(x)=-\infty[/latex], a supremum [latex]\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ln(\frac{2}{3})[/latex].
Sad smo odredili zapravo i asimptote: vertikalne (iako, samo "jednostrane", ne znam jeste li to smatrali pravim vertikalnima) su [latex]x=1/2[/latex] i [latex]x=-2/3[/latex], a horizontalna je [latex]y=\displaystyle\ln(\frac{2}{3})[/latex].
Još trebaš odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, a za tako nešto trebaš dva puta derivirati funkciju. :D Naravno, to se nikome normalnome ne da, ali [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28%282x-1%29%2F%283x%2B2%29%29%27%27]navodno[/url] je druga derivacija [latex]\displaystyle -\frac{7(12x+1)}{(2x-1)^2(3x+2)^2}[/latex], što bi značilo da u domeni nema infleksija, a da je na lijevoj poddomeni funkcija konveksna, a na desnoj konkavna.
Što se pak [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=ln%28%282x-1%29%2F%283x%2B2%29%29]grafa[/url] tiče, tu ne mogu biti od velike pomoći - sve korisne informacije zapravo imaš gore. :)
Evo, nisam bio baš detaljan, ali s takvim zadatkom... tko bi bio. :P
Umm, jel možda misliš na osam točaka spomenutih tu?
Ako da, dosta je to posla  Ajde onda reci kako ti funkcija izgleda - je li  ili  ?
Pretpostavljam da se radi o prvoj opciji: u tom slučaju, za prvu točku (određivanje domene) moraš imati  i  . Nije teško pokazati (pitaj ako treba pomoć) da to stoji za  i za  .
Lako se vidi da funkcija nije ni parna ni neparna ( , a  ). Nadalje, ona nije ni periodična (ako periodičnost i parnost/neparnost imaju uopće smisla na ovakvoj "kljastoj" domeni): naime, možeš pokazati (ponovno, reci ako treba pomoći) da je  strogo rastuća na  .
Naravno (jer se radi o kompoziciji i kvocijentu elementarnih funkcija), naša je funkcija neprekidna svugdje gdje je definirana. Nultočke joj je lagano naći: naprosto riješi  iz čega dobivaš  . Što se monotonosti i ekstrema tiče, funkcija je strogo rastuća i na "lijevoj" poddomeni, kao i na "desnoj" (to dokažeš lako, pitaj ako treba  ). Dakle, na lijevoj poddomeni je supremum  , a infimum  . Na desnoj poddomeni je infimum  , a supremum  .
Sad smo odredili zapravo i asimptote: vertikalne (iako, samo "jednostrane", ne znam jeste li to smatrali pravim vertikalnima) su  i  , a horizontalna je  .
Još trebaš odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, a za tako nešto trebaš dva puta derivirati funkciju. Naravno, to se nikome normalnome ne da, ali navodno je druga derivacija  , što bi značilo da u domeni nema infleksija, a da je na lijevoj poddomeni funkcija konveksna, a na desnoj konkavna.
Što se pak grafa tiče, tu ne mogu biti od velike pomoći - sve korisne informacije zapravo imaš gore.
Evo, nisam bio baš detaljan, ali s takvim zadatkom... tko bi bio. 
|
