|
Možda je ovako lakše objasniti (mislim, to je ista stvar, samo drugim riječima :D): pretpostavi da je [latex]c[/latex] negativan. Sad, kako [latex](c_n)_n[/latex] konvergira u [latex]c[/latex], po definiciji vrijedi [latex](\forall \varepsilon >0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(n\geq n_0, n\in\mathbb{N}\implies |c_n-c|<\varepsilon)[/latex]. E, sad uzmi [latex]\varepsilon=\displaystyle\frac{|c|}{2}[/latex] (to je dosta standardan trik kod ovakvog ispitivanja pozitivnosti, upravo iz razloga koji ćemo upravo izvesti).
Dakle, morao bi postojati neki [latex]n_0[/latex] takav da vrijedi ono gore za sve [latex]n\geq n_0[/latex]. Specifično (treba nam samo jedan član koji je u kontradikciji), i za sam [latex]n_0[/latex] mora vrijediti [latex]\displaystyle |c_{n_0}-c|<\frac{|c|}{2}[/latex]. No, to upravo znači da je [latex]c_{n_0}[/latex] iz intervala [latex]\displaystyle \langle c-\frac{|c|}{2}, c+\frac{|c|}{2}\rangle[/latex]. Eh, a [latex]c[/latex] je negativan, pa je ovaj interval gore zapravo [latex]\langle 3c/2, c/2\rangle[/latex]. No, taj cijeli interval čine samo negativni brojevi. Kako je [latex]c_{n_0}\geq 0[/latex], došli smo do kontradikcije.
Ah, fejky bje brži. :D (Inače, baš ovaj interval gore uzimamo zbog toga što smo lako pokazali da je on cijeli konstantnog predznaka (primijetit ćeš da je i za pozitivne [latex]c[/latex] opet cijeli [latex]\displaystyle \langle c-\frac{|c|}{2}, c+\frac{|c|}{2}\rangle[/latex] pozitivan). Mogli smo uzeti i [latex]|c|/3[/latex], [latex]7|c|/8[/latex] ili nešto četvrto, ali ovo je recimo najprirodnije. :) Mogli smo zapravo uzeti i cijeli [latex]|c|[/latex], to bi isto prošlo, ali se ovako "osjećamo sigurniji" - ne moramo razmišljati da nam je u redu i to kad je [latex]0[/latex] na rubu intervala, a interval je otvoren.)
Možda je ovako lakše objasniti (mislim, to je ista stvar, samo drugim riječima  ): pretpostavi da je  negativan. Sad, kako  konvergira u , po definiciji vrijedi  . E, sad uzmi  (to je dosta standardan trik kod ovakvog ispitivanja pozitivnosti, upravo iz razloga koji ćemo upravo izvesti).
Dakle, morao bi postojati neki  takav da vrijedi ono gore za sve  . Specifično (treba nam samo jedan član koji je u kontradikciji), i za sam mora vrijediti  . No, to upravo znači da je  iz intervala  . Eh, a je negativan, pa je ovaj interval gore zapravo  . No, taj cijeli interval čine samo negativni brojevi. Kako je  , došli smo do kontradikcije.
Ah, fejky bje brži. (Inače, baš ovaj interval gore uzimamo zbog toga što smo lako pokazali da je on cijeli konstantnog predznaka (primijetit ćeš da je i za pozitivne opet cijeli pozitivan). Mogli smo uzeti i  ,  ili nešto četvrto, ali ovo je recimo najprirodnije.  Mogli smo zapravo uzeti i cijeli  , to bi isto prošlo, ali se ovako "osjećamo sigurniji" - ne moramo razmišljati da nam je u redu i to kad je  na rubu intervala, a interval je otvoren.)
|
( ako nije frka