linearna algebra (zadatak)

[ueworiwoefzuiowe]

ako je (e)=(e1, e2, e3) baza vektorskog prostora, pokazite da je tada i (f)=(-2e1+e2+e3, -e2+2e3, 3e2-5e3) baza istog vektorskog prostora...

nista spektakularno, ali molio bih dobru dušu da napiše rješenje... hvala

[ueworiwoefzuiowe]

btw. koja je razlika u rjesavanju ako se navodi da je baza (e) ortonomirana?

[ueworiwoefzuiowe]

[Gergonne]

Zadana baza vektorskog prostora V sastoji se od točno tri međusobno različita vektora. To znači da se svaka baza toga vektorskog prostora sastoji V od točno tri međusobno različita vektora, tj. da je dim V = 3. Skup (f) se očito sastoji od točno tri međusobno različita vektora, pa preostaje pokazati da je taj skup linearno nezavisan.

Linearna nezavisnost skupa vektora znači da se nulvektor jedino na trivijalan način može prikazati kao linearna kombinacija elemenata promatranog skupa. Zato ispitujemo slijedi li iz jednakosti:

a*(-2*e1+e2+e3) + b*(-e2+2*e3) + c*(3*e2-5*e3) = 0

jednakost a = b = c = 0. Grupiranjem članova dobije se

(-2*a)*e1 + (a -b+3*c)*e2 + (a + 2*b - 5*c)*e3 = 0.

Skup (e) = (e1, e2, e3) je baza prema pretpostavci, što znači da je taj skup linearno nezavisan. Zato se nulvektor jedino na trivijalan način može prikazati kao linearna kombinacija vektora iz skupa (e). To znači da moraju vrijediti jednakosti

-2*a = 0
a - b + 3*c = 0
a + 2*b - 5*c = 0.

Rješavanjem ovog sustava dobije se a = b = c = 0, pa zaključujemo da je skup (f) linearno nezavisan.

[Gergonne]

Postupak rješavanja je isti i uz pretpostavku da je (e) ortonormirana baza. Međutim, nije teško pokazati da (f) nije ortonormirana baza. Npr. pomnožimo li skalarno vektor (-2*e1+e2+e3) s vektorom (-e2+2*e3) dobijemo:

(-2*e1+e2+e3)*(-e2+2*e3) = 2*(e1, e2) - (e2, e2) - (e3, e2) - 4*(e1,e3) + 2*(e2, e3) + 2*(e3, e3).

Pretpostavimo li da je (e) ortonormirana baza, onda iz definicije ortonormirane baze slijedi

(e1, e1) = (e2, e2) = (e3, e3) = 1
(e1, e2) = (e2, e1) = (e2, e3) = (e3, e2) = (e3, e1) = (e1, e3) = 0,

pa je

(-2*e1+e2+e3)*(-e2+2*e3) = 2*0 - 1 - 0 - 4*0 + 2*0 + 2*1 = 1,

što znači da vektori (-2*e1+e2+e3) i (-e2 + 2*e3) nisu okomiti. Također, vrijedi npr.

||(-e2 + 2*e3)||^2 = (-e2 + 2*e3)*(-e2 + 2*e3) = 1 + 4 = 5,

pa vektor (-e2 + 2*e3) nije jedinične duljine. Dakle, baza (f) nije ortonormirana.

[ueworiwoefzuiowe]

hvala!

[ueworiwoefzuiowe]

dodatak zadatku je jos bio: odredite skalare a i b takve da vrijedi A(f1+f2) = af1 + bf2 ...?

[Gergonne]

Nedostaje podatak što je A. Vjerojatno je riječ o matričnom zapisu nekog linearnog operatora iz V u V, ali bez "konkretnog" podatka o A taj zadatak nije moguće riješiti.

[ueworiwoefzuiowe]

da, samo sam zametnuo, isprike... trazi se matricni zapis operatora A(f) ako je A:V2 -> V2 definiran sa Ax = (-2x1 + 4x2)e1 + (x1 + 5x2)e2 ...onda krece odredjivanje skalara

[ueworiwoefzuiowe]

...al nikako da shvatim taj zadnji dio zadatka...

[ueworiwoefzuiowe]

ne znaci li to jednostavno da su a i b jednaki?