| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
bleki88
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 24. 09. 2009. (17:13:58)
Postovi: (27)16
|
|
| [Vrh] |
|
Cobs
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15)
Postovi: (206)16
Spol: 
Lokacija: Geto
|
|
| [Vrh] |
|
komaPMF
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (10:23:41)
Postovi: (E6)16
Spol: 
Lokacija: Over the roof
|
|
| [Vrh] |
|
xyz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 02. 2009. (11:14:15)
Postovi: (8A)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
komaPMF
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (10:23:41)
Postovi: (E6)16
Spol:
Lokacija: Over the roof
|
|
| [Vrh] |
|
xyz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 02. 2009. (11:14:15)
Postovi: (8A)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
komaPMF
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 11. 2007. (10:23:41)
Postovi: (E6)16
Spol:
Lokacija: Over the roof
|
|
| [Vrh] |
|
xyz
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 02. 2009. (11:14:15)
Postovi: (8A)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
pmfovka
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 11. 2009. (21:58:15)
Postovi: (60)16
|
|
| [Vrh] |
|
Milojko
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2008. (14:57:52)
Postovi: (453)16
Spol: 
Lokacija: Hilbertov hotel
|
 Postano: 6:46 pon, 30. 5. 2011 Naslov: |
    |
|
|
nisam siguran što je bio zadatak, al ako je razviti oko točke, npr. -1, onda rastavljaš [latex]\frac{1}{z+1}*\frac{1}{z-1}[/latex] i razvijaš u red samo ovaj drugi dio, pa na kraju pomnožiš s prvim.
al općenito, uvijek pali rastav na parcijalne razlomke, ako ništ drugo ne pada na pamet, često dost to olakšava stvar.
nisam siguran što je bio zadatak, al ako je razviti oko točke, npr. -1, onda rastavljaš  i razvijaš u red samo ovaj drugi dio, pa na kraju pomnožiš s prvim.
al općenito, uvijek pali rastav na parcijalne razlomke, ako ništ drugo ne pada na pamet, često dost to olakšava stvar.
_________________ Sedam je prost broj 
Bolonja je smeće i to pod hitno treba mijenjat |
|
| [Vrh] |
|
Cobs
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15)
Postovi: (206)16
Spol:
Lokacija: Geto
|
| Postano: 15:04 pon, 30. 5. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="pmfovka"]e,ovako,imam jedno pitanje...u prvoj zadaći za drugi kolokvij,trebamo razviti u Laurentov red funkciju...
1/(z^2-1)
jel se to može nekak rastaviti na sumu nekih razlomaka ili nešto? ili možemo rastaviti po razlici kvadrata pa samo razvoj pomnožiti? :oops:[/quote]
[latex]f(z) = \frac{1}{z^2 - 1 }[/latex]
tu funkciju treba razviti u Laurentov red:
a) oko točke 1 rdje je r=0, R=2
b) oko točke 2 rdje je r=1, R=3
c) oko točke 1+i gdje je 0 unutar kružnog vijenca
općenito ako razvijamo neku funkciju u red oko točke [latex]z_0[/latex], onda je moramo razviti u red potencija [latex](z - z_0 )^k[/latex]
[latex]f(z) = \frac{1}{z^2 - 1 } = \frac{1}{(z-1)(z+1)} = \frac{1}{z-1}\cdot \frac{1}{z+1}[/latex]
uoči sada da ti je prvi dio: [latex]\frac{1}{z-1} = ( z - 1 )^{-1}[/latex] tj. to je već neka potencija onog oblika koja ti u biti i treba, pa ćemo ovaj drugi dio razvit u red takvih potencija i onda pomnožit s tom potencijom i opet ćemo dobit red potencija oblika: (z-1)
pa onda razvijemo ovaj drugi dio u red:
uoči da je r=0, R=2 tj, naš kružni vijenac je kružnica koja ima središte u točki 1 radijusa R = 2 koja ne sadrži točku 1 ( tj. ne sadrži središte jer je r = 0 ).
S obzirom da za sve točke w unutar tog kružnog vijenca vrijedi da 0<|w|<2 ( s obzirom na središte kružnog vijenca ) , a s obzirom da je svaka točka w u biti točka unutar kružnog vijenca koji ima središte u točki 1, onda w možemo zapisati i u obliku: z-1 tj. 0<|z-1|<2
idemo sad razvit ovaj drugi dio u red potencija.
općenito znamo da red potencija:
[latex]\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}}[/latex]
ako je [latex]|x|<1[/latex]
s obzirom da je nama 0<|z-1|<2, onda je sigurno da je:
[latex]|-\frac{z-1}{2}| = \frac{|z-1|}{2} < 1[/latex] pa uzimamo da nam je to ovaj x iz gornje formule i pokušavamo ovaj drugi član na taj način razviti u red:
[latex]\displaystyle{\frac{1}{z+1} = \frac{1}{(z-1)+2} = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1 - ( -\frac{z-1}{2} )} = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot \frac{(z-1)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot \frac{(z-1)^n}{2^{n+1}}}[/latex]
kada se to sve pomnoži sa onim prvim dijelom dobije se:
[latex]\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\cdot \frac{(z-1)^{n-1}}{2^{n+1}}}[/latex]
svi ostali tipovi takvog zadataka idu na istu shemu samo što se razlikuju naravno u točkama[latex]z_0[/latex] koje određuju oblik potencije u kojem razvijaš red, te se razlikuju u područjima ( kružnim vijencima u kojima razvijaš ) red, pa eventualno moraš taj član nariktat da bude manji od jedan, kako bi ona formula vrijedila. ( u ovom slučaju se trebalo pomnožit s 1/2 )
| pmfovka (napisa): | e,ovako,imam jedno pitanje...u prvoj zadaći za drugi kolokvij,trebamo razviti u Laurentov red funkciju...
1/(z^2-1)
jel se to može nekak rastaviti na sumu nekih razlomaka ili nešto? ili možemo rastaviti po razlici kvadrata pa samo razvoj pomnožiti?  |
tu funkciju treba razviti u Laurentov red:
a) oko točke 1 rdje je r=0, R=2
b) oko točke 2 rdje je r=1, R=3
c) oko točke 1+i gdje je 0 unutar kružnog vijenca
općenito ako razvijamo neku funkciju u red oko točke  , onda je moramo razviti u red potencija 
uoči sada da ti je prvi dio:  tj. to je već neka potencija onog oblika koja ti u biti i treba, pa ćemo ovaj drugi dio razvit u red takvih potencija i onda pomnožit s tom potencijom i opet ćemo dobit red potencija oblika: (z-1)
pa onda razvijemo ovaj drugi dio u red:
uoči da je r=0, R=2 tj, naš kružni vijenac je kružnica koja ima središte u točki 1 radijusa R = 2 koja ne sadrži točku 1 ( tj. ne sadrži središte jer je r = 0 ).
S obzirom da za sve točke w unutar tog kružnog vijenca vrijedi da 0<|w|<2 ( s obzirom na središte kružnog vijenca ) , a s obzirom da je svaka točka w u biti točka unutar kružnog vijenca koji ima središte u točki 1, onda w možemo zapisati i u obliku: z-1 tj. 0<|z-1|<2
idemo sad razvit ovaj drugi dio u red potencija.
općenito znamo da red potencija:
ako je 
s obzirom da je nama 0<|z-1|<2, onda je sigurno da je:
 pa uzimamo da nam je to ovaj x iz gornje formule i pokušavamo ovaj drugi član na taj način razviti u red:
kada se to sve pomnoži sa onim prvim dijelom dobije se:
svi ostali tipovi takvog zadataka idu na istu shemu samo što se razlikuju naravno u točkama koje određuju oblik potencije u kojem razvijaš red, te se razlikuju u područjima ( kružnim vijencima u kojima razvijaš ) red, pa eventualno moraš taj član nariktat da bude manji od jedan, kako bi ona formula vrijedila. ( u ovom slučaju se trebalo pomnožit s 1/2 )
|
|
| [Vrh] |
|
tajchi666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 05. 2007. (20:55:39)
Postovi: (2B)16
|
|
| [Vrh] |
|
Cobs
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15)
Postovi: (206)16
Spol:
Lokacija: Geto
|
| Postano: 2:32 uto, 31. 5. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="tajchi666"]jel može pomoć oko zadataka iz zadaće o reziduuima..
f(z) = sinz*sin(1/z)
ili
f(z) = z*cos^2(pi/z)
treba izračunati reziduume tih funkcija u ∞
Zahvaljujem![/quote]
S obzirom da je reziduum član [latex]c_{-1}[/latex] u razvoju neke funkcije oko točke [latex]z_0[/latex] u Laurentovom redu:
[latex]\displaystyle{\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\cdot (z-z_0)^n}[/latex]
a s obzirom da obje funkcije imaju jedini singularitet u 0 ( i to je u obje bitan singularitet ) onda je najpametnije razviti funkcije u Laurentov red oko 0 i pogledat koji im je član jednak [latex]c_{-1}[/latex]
Kada nađemo singularitet u 0 ( i s obzirom da nam je to jedini singularitet , onda po teoremu o reziduumima imamo da nam je: )
[latex]res(f,0) = -res(f,\infty)[/latex]
Rj. a)
Samo koristimo formule (vidimo da su one razvoj funkcija oko nule):
[latex]\displaystyle{sin(z) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} = \frac{z}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \ldots}[/latex]
[latex]\displaystyle{sin(\frac{1}{z}) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{(\frac{1}{z})^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{z^{2n+1}\cdot (2n+1)!} = \frac{1}{z\cdot 1!} - \frac{1}{z^3\cdot 3!} + \frac{1}{z^5\cdot 5!} - \ldots} [/latex]
pa kada ih pomnžimo:
[latex]\displaystyle{f(z) = sin(z)\cdot sin(\frac{1}{z}) = (\frac{z}{1!} - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \ldots )\cdot (\frac{1}{z\cdot 1!} - \frac{1}{z^3\cdot 3!} + \frac{1}{z^5\cdot 5!} - \ldots )}[/latex]
vidimo da u umnošku nema člana koji je oblika [latex]\frac{1}{z}[/latex]
tj. [latex]c_{-1} = 0[/latex] u Laurentovom redu funkcije f oko točke 0,
pa zaključujemo da je:
[latex]res(f,\infty) = 0[/latex]
b) dio, kada razvijemo funkciju u Laurentov red oko točke 0 dobijemo:
[latex]\displaystyle{f(z) = z\cdot cos(\frac{\pi}{z}) = \frac{\pi^2}{z\cdot 2!} - \frac{\pi^4}{z^3\cdot 4! } + \frac{\pi^6}{z^5 \cdot 6! } }[/latex]
pa vidimo da nam je član uz [latex]z^{-1}[/latex] jednak:
[latex]\displaystyle{\frac{\pi^2}{2}}[/latex], pa zaključujemo da je:
[latex]\displaystyle{res(f,\infty) = -\frac{\pi^2}{2}}[/latex]
| tajchi666 (napisa): | jel može pomoć oko zadataka iz zadaće o reziduuima..
f(z) = sinz*sin(1/z)
ili
f(z) = z*cos^2(pi/z)
treba izračunati reziduume tih funkcija u ∞
Zahvaljujem! |
S obzirom da je reziduum član  u razvoju neke funkcije oko točke u Laurentovom redu:
a s obzirom da obje funkcije imaju jedini singularitet u 0 ( i to je u obje bitan singularitet ) onda je najpametnije razviti funkcije u Laurentov red oko 0 i pogledat koji im je član jednak
Kada nađemo singularitet u 0 ( i s obzirom da nam je to jedini singularitet , onda po teoremu o reziduumima imamo da nam je: )
Rj. a)
Samo koristimo formule (vidimo da su one razvoj funkcija oko nule):
pa kada ih pomnžimo:
vidimo da u umnošku nema člana koji je oblika 
tj.  u Laurentovom redu funkcije f oko točke 0,
pa zaključujemo da je:
b) dio, kada razvijemo funkciju u Laurentov red oko točke 0 dobijemo:
pa vidimo da nam je član uz  jednak:
 , pa zaključujemo da je:
|
|
| [Vrh] |
|
tajchi666
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 05. 2007. (20:55:39)
Postovi: (2B)16
|
|
| [Vrh] |
|
tierra
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2007. (12:46:15)
Postovi: (4D)16
Spol:
Lokacija: zg
|
|
| [Vrh] |
|
Cobs
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15)
Postovi: (206)16
Spol:
Lokacija: Geto
|
|
| [Vrh] |
|
(s)Venn
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 02. 2009. (17:59:25)
Postovi: (40)16
Lokacija: Velika Gorica
|
| Postano: 13:45 sri, 1. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="Cobs"]
[latex]f(z) = \frac{1}{z^2 - 1 }[/latex]
tu funkciju treba razviti u Laurentov red:
a) oko točke 1 rdje je r=0, R=2
b) oko točke 2 rdje je r=1, R=3
c) oko točke 1+i gdje je 0 unutar kružnog vijenca
[/quote]
Muči me c) slučaj.
Za područje čiji je element 0 sam uzeo D := C\K(1+i,1), pa imam da je z element u D ako je |z-(1+i)| > 1. Gornji razlomak sam rastavio na sumande pa nikako ne mogu odrediti L. red od 1/(1+z)... Molim pomoć...
| Cobs (napisa): |
tu funkciju treba razviti u Laurentov red:
a) oko točke 1 rdje je r=0, R=2
b) oko točke 2 rdje je r=1, R=3
c) oko točke 1+i gdje je 0 unutar kružnog vijenca
|
Muči me c) slučaj.
Za područje čiji je element 0 sam uzeo D := C\K(1+i,1), pa imam da je z element u D ako je |z-(1+i)| > 1. Gornji razlomak sam rastavio na sumande pa nikako ne mogu odrediti L. red od 1/(1+z)... Molim pomoć...
_________________ ..pišem pjesme, sviram bluz, radost i tugu na stihove lomim.. |
|
| [Vrh] |
|
sylar
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 13. 10. 2008. (17:42:14)
Postovi: (5F)16
|
| Postano: 15:30 sri, 1. 6. 2011 Naslov: |
|
|
|
Mislim da za područje trebaš uzet V(i+1;1,sqrt5), jer je funkcija holomorfna na C\{-1,1}, a ovo što si ti uzeo D := C\K(1+i,1) u to ulazi točka -1
Zatim raspišeš 1/(z+1)=1/((z-1-i)+2+i)
imaš da ti je |z-1-i|<sqrt5 tj. da je |z-1-i/sgrt5|<1
1/((z-1-i)+2+i)=1/(2+i)*1/(1+(z-1-i)/(2+i)) i to jednostano razviješ po formuli
(jer je |2+i|=sgrt5)
bar mislim da se tako radi
Mislim da za područje trebaš uzet V(i+1;1,sqrt5), jer je funkcija holomorfna na C\{-1,1}, a ovo što si ti uzeo D := C\K(1+i,1) u to ulazi točka -1
Zatim raspišeš 1/(z+1)=1/((z-1-i)+2+i)
imaš da ti je |z-1-i|<sqrt5 tj. da je |z-1-i/sgrt5|<1
1/((z-1-i)+2+i)=1/(2+i)*1/(1+(z-1-i)/(2+i)) i to jednostano razviješ po formuli
(jer je |2+i|=sgrt5)
bar mislim da se tako radi
_________________
...we die and world will be poor for it...
|
|
| [Vrh] |
|
Cobs
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 01. 2008. (13:32:15)
Postovi: (206)16
Spol:
Lokacija: Geto
|
|
| [Vrh] |
|
|
