Uvjetno očekivanje - objašnjenje izvoda (zadatak)

[zbunjola]

Pozdrav!

Čitam jedan članak (nije vezan uz matematiku) i jedan izvod mogu pratiti do niže napisana tri redka. Nije mi jasno kako autor iz (1) dobiva (2) i iz (2) konačno rješenje.

...
= E{E[X|Y]E[Y-aX|Y] } (1)
= E(XY) - aE{ (E[X|Y])^2 } (2)
= aE{ (X-E[X|Y] )^2} (3)

X i Y su povezane funkcijom Y = aX+W, X i W su nezavisne varijable. Krajnje rješenje bi trebalo fiti funkcija od X i Y.

Pretopstavljam da se iz (1) smije pisati:
E{E[X|Y]E[Y-aX|Y] } = E{E[X|Y] {E[Y|Y]-aEX|Y]}} (4)
= E(E(X|Y)E(Y|Y)) - aE( (E(X|Y))^2 ) (5)

Nije mi sad jasno kako vrijedi:

E(XY) = E(E(X|Y)E(Y|Y)) (6)

Kako se računa E(Y|Y)?

Kada bi se u (6) očekivanja zamijenila sa funkcijama gustoće vjerojatnosti onda bi (6) imao smisla. Ovako sa očekivanjima kad moram sve integrirati ne mogu pokazati da (6) vrijedi.

Hvala u naprijed na pomoći, nisam matematičar, pa bi detaljnije objašnjenje dobro došlo!

[teja]

jednakost slijedi iz svojstava uvjetnog očekivanja:
E[Y|Y]=Y pa je E[E[X|Y]E[Y|Y]]=E[E[X|Y]Y]
kako je Y izmjeriva s.v. s obzirom na sigma algebru generiranu sa Y, Y može "ući" u očekivanje pa je E[X|Y]Y=E[XY|Y]
također za svaku s.v. Z vrijedi da je E[E[Z|Y]]=E[Z] pa iz toga slijedi E[E[XY|Y]]=E[XY]