LA2: zadace?

[ceps]

A je li ti jasan ovaj dio koji sam do sad napisao? U biti, ovo možeš dokazat pomoću matrica i pomoću operatora (ili miješajući to sve).
Ponavljam, fora je u dokazu, pošto je AB = BA, za svaki B... smisliti neke dobre B (bilo matrice ili operatore - ovisi kako gledate) da pokažete da da je A u biti skalar puta jedinična matrica\identiteta.

Znači, u prošlom postu sam pokazao da je A dijagonalna matrica što povlači da operator A uistinu ima bar jednu svojstvenu vrijednost (pošto se njegova matrica može dijagonalizirati).

E sad, prema onoj uputi u zadaći još treba pokazati da je bilo koji svojstveni potprostor operatora A invarijantan za svaki operator iz L(V)

No, to je poprilično ''straightforward'': sad znamo da operator A ima neku svojstvenu vrijednost, znači:

za neki x - koji je svojstveni vektor od A.

Onda

Što vidimo iz ovoga? Bx je element svojstvenog potprostora od A za sv. vrijednost za svaki operator B.
Znači, → ovo je jednakost operatora, problem je dokazan.


2. način

Ovaj zadatak je inače izvađen iz zbirke Bakić-Milas (485.) i tamo je riješen posve s matricama.
Rj:

Neka je V dimenzije n. Neka je matrica operatora u nekoj bazi. Slijedi da matrica A komutira sa svim matricama iz .
Specijalno, gdje je elementarna matrica koja ima na mjestu (i, j) jedinicu, a nule na svim ostalim mjestima.
Uzimamo li za elementarne matrice redom dobijamo i za .

[maaajčiii]

jel može pomoć oko 4. zadaće? ako je netko gledao 3. i 4. zadatak, uvijek imam problema s teorijskim zadacima u trećem sam mislila pokazati da je <Px-a,Px-a> = 0, ali nije mi baš uspjelo. hvala unaprijed!

[ceps]

3. zadatak - hint

Znaš da za hermitske operatore na unitarnom prostoru v vrijedi , a ti trebaš dokazati da postoji potprostor M od V tako da P na svakom djeluje kao Px = a... da li je sad malo jasnije?
Preostaje raspisivanje preko neke ortonormirane baze...

4. zadatak - hint
Vjerojatno si na vježbama vidjela da je za neku matricu koja se može dijagonalizirati lagano izračunati .
Vrijedi li to i u drugom smjeru (korjenovanje)?

—

Ako treba još nekih dodatnih hintova, ili rješenje - samo pitaj.

[maaajčiii]

jel možeš molim te samo još malo raspisati ovaj treći? a u četvrtom bi znači trebala pokazati da se može korjenovati matrice? to bi bilo onda obrnuto od dijagonalizacije?

[Borgcube]

Ma u trećem ne treba ni raspisivanje po bazi, postoji jedan vrlo zgodan teorem koji nam nešto govori o tome kad želimo x prikazati kao sumu vektora iz potprostora čija je suma direktna i cijeli V.

Za 5. ne, ne možemo korjenovati matrice jer je rezultat nejedinstven... nekad. I ne, nije suprotno od dijagonalizacije.
Ali, možemo pogoditi način da idemo unazad s množenjem, posebno kod dijagonalnih matrica. Primjeti da se dijagonalne matrice jaaako lijepo množe, pa kad bi htjela dobiti dijagonalnu kao umnožak dviju matrica, kakve bi matrice uzela?
Primjeti da se radi nad C.

_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.

[maaajčiii]

jel bi onda nešta ovakvo bilo ok:

3. neka je x iz ImP
P^2x=Px => P(Px-x)=0 => Px-x je iz KerP => Px=x (jer je presjek od Imp i Kerp trivijalan)

4. A=SDS^-1, uzmimo B=SKS^-1 , K je neka dijagonalna matrica, tada je B^2=SK^2S^-1 i ako uzmemo da je K^2=D, dobili smo traženi B.

[Borgcube]

Upravo tako, jedino u zadaći malo redoslijed promjeni, prvo nađeš K td. je K^2 = D, a onda tek B. Nije baš posebno bitno, ali imam osjećaj da je tako... elegantnije

_________________
Ceterum censeo Carthaginem esse delendam.

[maaajčiii]

ok, hvala

[lalala5]

jel moze pomoc oko 1. zadatka? nisam bas redovita na predavanjima pa ne kuzim tocno sta treba.
koliko sam shvatila treba naci Pb jer je Ax=b=Pb. Znam da je P projektor, Kako da ga nadjem?

[ceps]

Napomena 2.1.23 u skripti, odmah ispod teorema o direktnom komplementu.
(ne da mi se sad sa Latexom davit xD )

[zvonkec]

Jel može neki hintić za 3. i 4. zadatak? Fala.


EDIT:Sori, nisam skuzio da vec ima.

_________________
nekad sam bio umišljen al sam se promijenio sad sam savršen