vježbe za kolokvij (objasnjenje gradiva)

[michelangelo]

kako se rješavaju zadaci tipa odredi ili ???? tnx unaprijed

[Gost]

do kud ulazi gradivo s predavanja u kolokvij? do koje strane u skripti?

[michelangelo]

brijem da sve kaj smo radili, tamo do 50. str al nemoj uzet za ziher

[.anchy.]

mislim da je do str.43.

http://web.math.hr/nastava/alg/zadace/zadaca4.pdf
kako bi išli 7. i 10.zad? s time da u 7.znam dokazati da je normalna na ruke,ali mi to bude previše množenja), a 10.zadatak jer mi ti teoremi o izomorfizmima nisu jasni baš,a o dokazima istih da ne pričam(za 2. i 3.)

http://web.math.hr/nastava/alg/2007-08/ASkol1_2008.pdf

i ovdje ako može objašnjenje za 2.i3. zad?

[Boris B.]

[.anchy.]

A kako bi odredili IntZ10 i AutZ10?
Za Int vrijedi ista tvrdnja,jel da?
AutZ10 se sastoji od fi(10)=4 f-je. Komutativne grupe koje dolaze u obzir su Z2+Z2 i Z4. opet zbog npr.3 reda 4 u Z10 imamo da je AutZ10 što? f4?

[smajl]

Da li netko zna kako se rjesava 3.b) 2. grupa http://web.math.hr/nastava/alg/2008-09/kolokvij200409.pdf
i ovdje 4. u 1. grupi http://web.math.hr/nastava/alg/2007-08/ASkol1_2008.pdf

zahvaljujem

[.anchy.]

3.b je riješio Novi u topicu Demonstrature,par iznad ovog

4.a)smo riješili nekad na vježbama(neznam točno gdje), a pod b neznam

[rafaelm]

[smajl]

Zahvaljujem na pomoci i navodjenju da nadjem potrebno rjesenje

[Boris B.]

@Anchy: Int G je trivijalna za sve Abelove grupe, tako da da.
Za Aut G, oznacimo s fi homomorfizam za koji je f(1) = i.
Tada je Aut Z10 = {f1, f3, f7, f9}.
Da je Aut Z10 ~= Z2 + Z2, tada bi te cetiri funkcije komponirane same sa sobom morale biti jednake identiteti, tj. reda najvise 2, jer su takvi svi elementi u Z2 + Z2.
No to nije slucaj: f3 * f3 = f9 (jer je f3(f3(1)) = 9). Dakle, Aut Z10 mora biti izomorfna Z4.

@Smajl: Jel treba jos odgovor za 4a)? To ide relativno jednostavno, mozes samo pretpostaviti suprotno.

_________________
The lyf so short, the craft so long to lerne

[smajl]

[pipi]

A jel moze meni pomoc oko 2. zadatka iz 2008. i to onaj 2. zadatak gdje se ispituje da li je G= ... ciklicka

I samo jos jedna stvar mi nije jasna. Kuzim kako se odredi Int i Aut od neceg, ali mi nije jasno kako zakljucimo da je npr. Aut(Z10) ili Aut(Z9) ciklicka Jel to zato jer je izomorfno za nekom ciklickom grupom ili je nesto drugo u pitanju

[pbakic]

Mozes odmah rec da je G ciklicka, jer je produkt Z-ova koji su relativno prosti (a za takve uvijek znas da su ciklicke). Npr, (1,1,1) generira svih 60 elemenata - to je tzv. kineski teorem o ostacima (uvijek zvuci ko nesto s TV prodaje... ).

Kad se trazi izomorfizam s drugom grupom, dovoljno je poslati generator u generator, pa bi homomorfizam f bio izomorfizam ako definiramo
f(1,1,1)=1
(ovo, zbog toga sto je f izomorfizam, definira sve ostale funkcijske vrijednosti)

Opcenito, Aut(Zn) nije ciklicka. (Uvijek je Abelova zbog onog sta smo pokazali na vjezbama, al ciklicka nije...)
Npr: Z8 ima 4 automorfizma. (fi(8 )=4)
to je identiteta, dakle red tog elementa je 1
(red elementa je 2)
(opet 2)
(takodjer 2)

⇒ Aut(Z8 ) nema element reda 4, pa grupa nije ciklicka.

Ako je n prost, onda je Aut(Zn) ciklicka.

za Z10, Aut je ciklicka:
npr, ak uzmemo f homomorfizam t.d. f(1)=3, on je generator:
f^2(1)=9
f^3(1)=27=7
f^4(1)=1
(dakle komponiranjem f-a sa samim sobom dobijemo sve ostale automorfizme - dovoljno je pokazati da se 1 moze slikati u sve generatore grupe Z10)



@smajl: Ono stvarno je grupa:
zatvorenost je ocita;
asocijativnost naslijedjena
neutral isto
inverz - znamo da postoji, al pitanje je dal mu je 3 fiksna tocka.
kad bi bilo f^-1(3) = x, onda je ocito f(f^-1(3))=x, a znamo f(f^-1(3))=id(3)=3, pa zakljucujemo x=3.
Sto se tice ovih podgrupa, 7 ne postoji jer 7 ne dijeli 5!,
5 i 4 postoje (za 5 je samo shift za jedno mjesto primjer:
1,2,3,4,5 → 5,1,2,3,4 (ciklicka grupa generirana ovim elementom je reda 5)
za 4:
1,5,2,3,4 (ovo ima ciklus duljine 4, pa i ciklicka grupa generirana s tim ima 4 elementa)

p.s. smajlic bi fakat trebalo ukinut, ne mozes 8 napisat bez da te zaskoci

[.anchy.]

[maty321]

kako pokazati da Z9 !~= Z3 + Z3 ?

[pbakic]

Za 7:
provjera dal je podgrupa:
-zatvoreno je
-asocijativnost je naslijedjena
-neutral ima (0)
-inverz od 0 je 0, od 4 je 8 i od 8 je 4
=> N je grupa, a kako je Z12 komutativna, onda je N normalna...

Z9 nije izomorfno sa Z3 x Z3, npr. zato sto Z3 x Z3 nije ciklicka

[ante c]

da li je skup ({[1][2][3][4][5]},*(6)) zatvorne na operaciju *(6) -množenje ostatak modulo 6?

[pajopatak]

A zašto nije ciklička

[Boris B.]

@Ante c.
Nije, [2] *(6) [3] = [0].

@pajopatak:
Da je ciklicka, morao bi postojati element reda 9, a ovdje su svi reda ⇐ 3. Naime, elementi Z3 + Z3 su oblika (a, b) gdje su a i b iz Z3, pa je po definiciji mnozenja na direktnoj sumi (a, b)^3 = (a^3, b^3) = (0, 0).

_________________
The lyf so short, the craft so long to lerne