Postdiplomski kolgeij u 2011/2012 (studij)

[zskoda]

Dragi kolege, ja sam još u nedoumici koji kolegij da ponudim na poslijediplomskom studiju u 2011/2012. Naime ima i previše ideja, no i najbolja ideja za kolegij se može srušiti ako je ljudi ne upišu ili barem slušaju. Jedna ideja je bila da se predaju D-moduli (to su moduli kvazikoherentnih snopova nad snoppom prstena regularnih diferencijalnih operatora na dmnogostrukosti ili shemom), moguće s P. Pandžićem. Prof. Kraljević je u međuvremenu koncipirao sličan kolegij, no godina dana teško da je izvediva za tako opsežnu temu o kojoj studenti trebaju dosta backgrounda pa treba ići polako. Jedna je ideja da ja držim nešto srodno, što bi pomoglo onima koji slušaju oba kolegija, no bilo bi nezavisno. Dakle geometrija diferencijalnih operatora. Pod geometrija ja stvarno mislim geometrija: geometrija infinitezimalnih okolina algebarskih i analitičkih podmnogostrukosti osnovni je objekt Grothendieckovog pristupa diferencijalnim operatorima što je povijesno rezultiralo teorijom deformacije kompleksnih mnogostrukosti i diferencijalnih operatora (Kodaira-Spencer), kristalnom kohomologijom u algebarskoj geometriji i slično. Aspekt s više analize je mikrolokalna analiza diferencijalnih operatora za koju nisam stručnjak ali bih rado ponudio neke aspekte kao dio kolegija. S druge strane D-moduli imaju i konačni aspekt: geometrija koneksija na glavnim svežnjevima, to se može raztmatrati i na glatkim mnogostrukostima bez spomena algebarskih shema. Bliske teme u geometriji diferencijalnih operatora su i Hodgeova teorija (veza između harmonijskih funkcija i formi s jedne strane i geometrije s druge) i teorija indeksa eliptičkih operatora; te također karakteristične klase koje su izvedene iz teorije koneksija te teorija indeksa (eliptičnih) operatora koja ima veze s raznim područjima.

S druge strane mogu odustati od diferencijalnih operatora i raditi jednostavno algebarsku geometriju shema i generalizacija. To je bitno studentima koje mentoriram. Na primjer kolegij "algebarske sheme i generalizacije". Mada ako budem predavao o geometriji diferencijalnih operatora, dio će biti posvećen toj teoriji na shemama, i posebno uz pomoć koncepta formalne sheme.

Studenti koje zanimaju slične teme neka me kontaktiraju prije ovog vikenda (tj. do subote 6.2.2011.). Vaše sugestije su dobro došle jer sam još pomalo neodlučan.

[zskoda]

Kolegij je na kraju

GEOMETRIJA KONEKSIJA I INTEGRABILNOST

Zainteresirani neka mi se čim prije jave da se dogovorimo oko termina predavanja. Prvi prijedlog je kasno popodne u ponedjeljak ili u srijedu, mada
se možemo dogovoriti i drukčije.

Koneksije su podaci koji omogućavaju pojam paralelnog transporta u geometriji, pa time i diferenciranja uzduž krivulja. Postoje generalizacije i analogoni u raznim područjima matematike, npr. u homološkoj algebri, a koneksije su i vrlo centralne u fizici. Naime baždarske teorije (gauge theories) se zasnivaju na koneksijama, a jako su važne u izučavanju gravitacije i općoj teorija relativnosti.

Integrabilnost se odnosi na fenomen da razne geometrijske strukture imaju infinitezimalne posljedice, kao što Liejeva grupa ima tangentnu Liejevu algebru, ili kompleksni atlas na mnogostrukosti daje gotovo kompleksnu strukturu na tangentnom nivou, pa se postavlja pitanje da li neka "tangetna struktura" ima globalni izvor. To se svodi u nizu primjera na uvjet plosnatosti (nul-zakrivljenosti) neke koneksije. Integrabilni sustavi u fizici takodjer zadovoljavaju uvjet tog tipa, u jednoj od mogućih formulacija.

Službeni sadržaj kolegija je ovdje: http://ncatlab.org/zoranskoda/files/koneksije.pdf, a web stranica http://ncatlab.org/zoranskoda/show/hom11connections.

Usput da spomenem da je ovaj mjesec još otvorena mogućnost za otvaranje nove teme diplomskog, ako netko od studenata diplomskog treba mentorstvo, a zainteresiran je da nastavi karijeru u matematici (teme kod mene su obično dosta napredne). Moji podaci se mogu naći na
http://www.irb.hr/korisnici/zskoda.

[zskoda]

Prvo predavanje iz koneksija je u srijedu 26.10. točno u 16 sati u 002.

http://ncatlab.org/zoranskoda/show/hom11connections