Taylorov teorem..

[matijaB]

moze ko rec ideju dokaza..sta se uopce radi u njemu?

[ceps]

Što se radi u njemu? Pa, ova jako komplicirana funkcija je napravljena tako da ''legne'' u Rolleov teorem - tj. da se primjenom Rolleovog teorema dobije rezultat.
Taylorov teorem se prilično koristi kasnije kod Taylorovih redova, a također i u ovom poglavlju o derivacijama (teorem odmah poslije).

E sad, mislim da je najveći problem u dokazu zapravo zapamtiti ovu jako kompliciranu funkciju. Pa ću probati to malo olakšati.

Pogledaj malo iznad tog teorema definiciju Taylorovog polinoma i n-tog ostatka Taylorovog polinoma.

Znam da se u skripti tako ne označava, ali kod Taylorovog polinoma je bitno više stvari, zato je malo nespretna oznaka za njega. Također je bitno i u kojoj točki je Taylorov polinom, tako da ću označiti
Taylorov polinom n-tog reda funkcije f oko točke c.

Kad tako gledaš onda u dokazu možeš ovo F(t) napisati kao:

, gdje je

Ako hoćeš još kompaktnije to zapisati, možeš primijeniti da je f(x) - Tn zapravo taj ostatak Rn...
Pa bi mogao pisati

Mislim da je ovako jednostavnije i vidjeti zašto je F(c) = 0.



Znam da nije neka jako velika pomoć, ali bar je nekako jednostavnije za zapamtiti (naravno, kad znaš formulu za Tn i Rn).
Mislim da trebaš još to malo bolje raspisati, jer je u skripti dosta koraka preskočeno. Ako ti još nešto nije jasno ili bi htio da neke korake detaljnije objasnim, samo pitaj.

[Novi]

Evo dva zgodna clanka o Taylorovu polinomu i motivaciji iza njega.
http://www.fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS_o_taylorovom_teoremu.pdf
http://www.fsb.unizg.hr/matematika/download/ZS_Taylorova_formula_i_dodiri.pdf

_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.

[Tomislav]

[matijaB]

ma formula nije bas lagana za zapamtit...al ovo ce pomoc..tnx
a ove motivacije...uh...bolje ne gledat

[ceps]

Ne motiviraju te baš? xD

[matijaB]

Jok :p

[matijaB]

teorem o konvergenciji reda s pozitivnim clanovima,onaj drugi dio dokaza koji govori o poretku clanova..tj da clanovi mogu biti u bilo kojem poretku...jel moze ko pojasnit dokaz?

raspisem si dokaz iz skripte..al se dvaput pogubim dok dodem do kraja

[ceps]

U prvom dijelu tog teorema se kaže da kod redova sa pozitivnim članovima vrijedi . U dokazu se želi pokazati da vrijedi i iz čega će slijediti da su ta dva supremuma jednaka iz čega će slijediti da su te dvije sume jednake.
(Označavat ću sa a', s', elemente ovog drugog, permutiranog reda, tako je i u skripti. Koristit ću i druge oznake iz skripte, ovaj sigma i to).

E sad, pokazat ću samo jedan smjer, možda ti je malo zbunjujuće što su u skripti obadva izvedena paralelno.

Znači, prvi korak - za bilo koji postoji tako da je .
Ako razumiješ što je permutacija, mislim da bi ovo trebalo biti prilično jasno, al samo pitaj ako nije.

I odatle - vidi u skripti - , baš zbog takvog izbora p i zato jer red ima pozitivne članove - pa iz toga slijedi ovo manje-ili-jednako kod odgovarajućih supremuma. Opet pitaj ako ti što treba pojasniti oko ovoga.

(Znam da nisam baš previše objašnjavao, al mi je lakše kad ti upreš prstom na dio koji ti nije jasan... Nejasnoća je vjerojatno oko jednog od ova dva koraka )

[satja]

Ja ću to seljački probati objasniti.

Jedan red je a1 + a2 + a3 + a4... koji konvergira.

Drugi red je permutacija: a3 + a8 + a4 + a7 + ... za koji dokazuješ da konvergira također.

Ideja je ova: bilo koja parcijalna suma tog "permutiranog" reda, recimo a3 + a8 + a4 + a7, manja je od neke parcijalne sume prvotnog reda, ovdje konkretno od a1 + ... + a9. Nadam se da je jasno zašto.

Ista argumentacija vrijedi i obrnuto: označimo li članove našeg permutiranog reda a3 + a8 + a4 + a7 + ..., kao b1 + b2 + b3 + b4 + ..., onda je prvotni red zapravo neka permutacija b-ova.

[ceps]

Dobro seljačko objašnjenje! Ona su najbolja.

[matijaB]

e to volim hehe
hvala