|
LINEARNA ALGEBRA 1 Popravni kolokvij 21. lipnja 2011.
Zadatak 1. (20 bodova)
Neka je K = { A = [αij] ε M2(R): α11 = α22, α21 = -α12}. Ispitajte je li K polje s obzirom
na standardne operacije zbrajanja i množenja matrica.
Zadatak 2. (10 bodova)
Odredite neka dva potprostora L i M vektorskog prostora
R^5 tako da vrijedi
L∩M = {(x1,x2,x3,x4,x5): x1 = x2 = x4 = x5} i L+M = {(x1,x2,x3,x4,x5): x1 = x5}.
Napišite baze tih potprostora. Provjerite – obrazložite ispravnost rješenja.
Zadatak 3. (20 bodova)
Izaberite neku realnu antisimetričnu matricu A reda 4, kojoj su
apsolutne vrijednosti koeficijenata na pozicijama (1,2), (2,3),
(3,4) i (1,4) jednake 1, a na pozicijama
(1,3) i (2,4) apsolutne vrijednosti koeficijenata su ½.
Izračunajte A^(-1) i det A.
Zadatak 4. (15 bodova)
Riješite sustav jednadžbi u ovisnosti o parametru a ε R. Rješenja zapišite u
matričnom obliku.
7x1 + ax2 + x3 - ax4 = 7
3x1 - x2 + x3 + x4 = -a
x1 - x2 - x3 - x4 = 1
7x1 - x2 + 5x3 - x4 = 7
Zadatak 5. (15 bodova)
(a) Definirajte sljedeće pojmove i operacije: (1) linearna ljuska podskupa
vektorskog prostora, (2) množenje matrica, (3) determinanta kvadratne
matrice A = [α_ij], (4) direktni komplement potprostora vektorskog prostora,
(5) ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi.
(b) Ako su vektori R1, R2 ε F^n dva različita rješenja nekog nehomogenog
sustava linearnih jednadžbi s n nepoznanica, za svaki od sljedećih vektora
ispitajte je li on rješenje istog tog nehomogenog sustava ili pridruženog
homogenog sustava ili nijednog od ta dva sustava:
3 R1 - 2R2 , R1 + R2 , 4 R1 - 2R2, 3 R1 - 3R2 , -R1 + 2R2 .
Zadatak 6. (20 bodova)
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s n nepoznanica nad poljem R, koji ima
beskonačno mnogo rješenja. Dokažite da su tada ekvivalentne tvrdnje:
(a) sustav je homogen, ranga manjeg od n i (b) skup rješenja zadanog sustava
je potprostor vektorskog prostora R^n, dimenzije barem 1.
LINEARNA ALGEBRA 1 Popravni kolokvij 21. lipnja 2011.
Zadatak 1. (20 bodova)
Neka je K = { A = [αij] ε M2(R): α11 = α22, α21 = -α12}. Ispitajte je li K polje s obzirom
na standardne operacije zbrajanja i množenja matrica.
Zadatak 2. (10 bodova)
Odredite neka dva potprostora L i M vektorskog prostora
R^5 tako da vrijedi
L∩M = {(x1,x2,x3,x4,x5): x1 = x2 = x4 = x5} i L+M = {(x1,x2,x3,x4,x5): x1 = x5}.
Napišite baze tih potprostora. Provjerite – obrazložite ispravnost rješenja.
Zadatak 3. (20 bodova)
Izaberite neku realnu antisimetričnu matricu A reda 4, kojoj su
apsolutne vrijednosti koeficijenata na pozicijama (1,2), (2,3),
(3,4) i (1,4) jednake 1, a na pozicijama
(1,3) i (2,4) apsolutne vrijednosti koeficijenata su ½.
Izračunajte A^(-1) i det A.
Zadatak 4. (15 bodova)
Riješite sustav jednadžbi u ovisnosti o parametru a ε R. Rješenja zapišite u
matričnom obliku.
7x1 + ax2 + x3 - ax4 = 7
3x1 - x2 + x3 + x4 = -a
x1 - x2 - x3 - x4 = 1
7x1 - x2 + 5x3 - x4 = 7
Zadatak 5. (15 bodova)
(a) Definirajte sljedeće pojmove i operacije: (1) linearna ljuska podskupa
vektorskog prostora, (2) množenje matrica, (3) determinanta kvadratne
matrice A = [α_ij], (4) direktni komplement potprostora vektorskog prostora,
(5) ekvivalentni sustavi linearnih jednadžbi.
(b) Ako su vektori R1, R2 ε F^n dva različita rješenja nekog nehomogenog
sustava linearnih jednadžbi s n nepoznanica, za svaki od sljedećih vektora
ispitajte je li on rješenje istog tog nehomogenog sustava ili pridruženog
homogenog sustava ili nijednog od ta dva sustava:
3 R1 - 2R2 , R1 + R2 , 4 R1 - 2R2, 3 R1 - 3R2 , -R1 + 2R2 .
Zadatak 6. (20 bodova)
Zadan je sustav linearnih jednadžbi s n nepoznanica nad poljem R, koji ima
beskonačno mnogo rješenja. Dokažite da su tada ekvivalentne tvrdnje:
(a) sustav je homogen, ranga manjeg od n i (b) skup rješenja zadanog sustava
je potprostor vektorskog prostora R^n, dimenzije barem 1.
|
