Konveksnost i Konkavnost

[Tekster]

Hitno mi je potrebna pomoc,Kako da odredim da li je sljedeca funkcija Konkavna ili Konveksna:

[kenny]

Konkavna. Naime, dana je kvadratna funkcija po varijabli a. Neka te ne buni ovo x. To je nekakav parametar, ali on u ovom slučaju nikako ne utječe na konveksnost/konkavnost funkcije. Promatraš vodeći koeficijent (odnosno, koeficijent uz najveću potenciju varijable). On je jednak -1. Znamo da ako je taj koeficijent pozitivan, "otvor" kvadratne funkcije je otvoren prema gore (konveksna je; tangenta se nalazi "ispod" funkcije za svaki izbor varijable a); a ako je vodeći koeficijent negativan, "otvor" kvadratne funkcije je okrenut prema dolje (konkavna je; tangenta se nalazi "iznad" funkcije za svaki izbor varijable a).

p.s. Da nije možda f(x), a ne f(a)?

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Tekster]

Dobro sam napisao treba f(a).
Hvala na odgovoru,ali moze li se nekim racunom ispitati da li je funkcija konveksna ili konkvavna , nekako preko ovog:,naime ako ovo vazi za neku funkciju onda je ona konveksna a ako je znak vece ili jednako onda je ona konkavna ,a mora da vazi .

[goranm]

To što ti je kenny napisao je ekvivalentan zaključak onome što bi izvukao koristeći definiciju konveksne funkcije jer funkcija je konveksna ako i samo ako je područje iznad grafa funkcije konveksan skup. To slijedi iz , za (tu sam umjesto koristio i ).

_________________
The Dude Abides

[Tekster]

Hvala puno na odgovorima ,imam jos za pitat:
Kaze Za koje vrijednosti realnog parametra m jednacina ima jedno negativno rjesenje ,i kada ima dva negativna rjesenja.Sad mene zanima kako moze ovo da se rijesi ako se kvadratna jednacina posmatra kao funkcija od iks ,tj nekako preko konveksnoti ili konkavnosti.

[goranm]

Ako za neki m>0 je f(x) konveksna, onda je za -m konkavna i obratno tako da analizom konveksnosti i konkavnosti ne bi puno informacija dobio.

Rastavi problem prvo na dva manja:

1) za koji m će f(x) imati točno jedno rješenje (bilo ono pozitivno ili negativno)?

2) za koji m će f(x) imati točno dva rješenja (bila ona oba pozitivna, oba negativna, ili jedno pozitivno i jedno negativno)?

Odgovor na oba pitanja leži u diskriminanti kvadratne jednadžbe. Za 1) diskriminanta mora biti jednaka 0. Za 2) diskriminanta mora biti strogo veća od 0.

U oba slučaja dobiti ćeš neka ograničenja na m i jedino što ti preostaje je pogledati kako u 1) i 2) rješenje izgleda u ovisnosti o m.

_________________
The Dude Abides

[Tekster]

problem rijesen,skonto sam u cemu je caka.Ali nemogu da prokontam kod ovakvih zadataka u cemu je caka:
Za koje vrijednosti realnog parametra m je tacno jedan korjen jednacine u intervalu .
E sad ovdje posto je funkcija konveksna treba li da uzmem i da rijesim i ili nekako drugacije?

[kenny]

U slučaju kako si ti napisao, oba su korijena u tom intervalu. Tebe zanimaju dvije situacije:

1)
2)

Dakle, na tom intervalu funkcija mijenja predznak, zato imamo ta dva slučaja.

Da je ovako kako si ti napisao, bile bi dvije mogućnosti:

1) na intervalu ima dva korijena ili jedan dvostruki (što je zapravo opet dva rješenja, ali se ona preklapaju)
2) funkcija nema realnih korijena, odnosno diskriminanta je negativna, pa je cijela "iznad" x-osi

Added after 11 minutes:

Nego, da se vratim kratko na onaj prethodni zadatak kada se traži da jednadžba ima jedno negativno rješenje.

Unaprijed ću se ograditi od ovog rješenja jer zadatak nije potpuno postavljen. Da li zadatak traži da jednadžba ima jedno negativno, a jedno pozitivno rješenje ili da jednadžba ima točno jedno rješenje koje je negativno? Ja rješavam za ovu prvu interpretaciju koju sam napisao iz jednostavnog razloga jer kvadratna jednadžba UVIJEK ima dva rješenja, samo se u nekim situacijama ta dva rješenja poklapaju, pa bi u slučaju da se rješava po drugoj interpretaciji bilo točnije napisati "kad jednadžba ima jedno dvostruko negativno rješenje?".

Neka funkcija ima dva korijena: . Koliki je onda umnožak tih dvaju rješenja? . Po Vieteovim formulama znamo da je . Odnosno, uvijet je [tex]\frac{c}{a}<0[/tex], tj. [tex]\frac{m-3}{2m+1}<0[/tex], što se lako riješi.


Kad fja ima dva negativna rješenja? Kad je umnožak [tex]x_1x_2>0[/tex]. Naravno, ovdje sad imamo situaciju da ćemo dobiti više rješenja negoli je potrebno jer će umnožak biti pozitivan i ako su oba korijena pozitivna. Sjetimo se i da znamo Vieteovu formulu za zbroj korijena, pa i to primijenimo. Zbroj dva negativna korijena će biti negativan, pa dodatno imamo i [tex]x_1+x_2 < 0[/tex]. Riješimo taj sustav i dobijemo rješenje.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Tekster]

Jel ovako sad:

,I presjek ova dva intervala bi trebalo da je .

I sad dalje nema rjesenje i

I jel mi sad ostaje to da je trazeno m u intervalu 0<x<4

[kenny]

Da, dobro je, [tex]m \in <0, 4>[/tex]. S tim da ovaj drugi slučaj nisi ni trebao provesti do kraja. Čim si vidio uvjet [tex]m^2<0[/tex] znaš da je taj slučaj nemoguć.

Nego, jesi shvatio zašto se zadatak postavlja da je [tex]f(0)>0, f(2)<0[/tex]?

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Tekster]

Mislim da nisam.

[kenny]

Ok, onda ajmo to još srediti. Dakle, kvadratna je funkcija neprekidna funkcija. To nam je bitno zbog konačnog zaključka. Nacrtaj si interval [tex]<0, 2>[/tex]. U [tex]x = 0[/tex] stavi da je [tex]y >0[/tex] - to nam je zbog [tex]f(0)>0[/tex]; a u [tex]x = 2[/tex] stavi da je [tex]y < 0[/tex] - to nam je zbog [tex]f(2)<0[/tex]. Slikovito rečeno, za [tex]x = 0[/tex] funkcija vrijednost će biti iznad osi x, a za [tex]x = 2[/tex] funkcija će vrijednost biti ispod osi x. E sad, povuci liniju između te dvije točke. Koliko će puta ta linija presjeći os x? SAMO JEDNOM. Dakle, na tom će intervali imati samo jednu nultočku.

Jasnije?

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[Tekster]

Trebalo bi da jeste evo jos jedan zadatak kako sam uradio,pa mi vi kazite gdje sam pogrijesio ako sam pogrijesio.
Data je jednacina: za koje vrijednosti a rjesenje jednacine pripadaju intervalu (-1,2).
Evo kako sam ja isao..
Sad uzimam vrijednost f(2) ali nisam siguran da li da stavim f(2)<0 ili f(2)>0.