|
[quote="Zenon"]Pozdrav!
Nisu mi jasni ovi zadaci koje smo dobili za zadaću:
Neka je A podskup od D, D je domena funkcije.
Odredi odnos skupova A i [tex]f^{\leftarrow}(f(A))[/tex].[/quote]
Jasno je da je uvijek [tex]A \subseteq f^{\leftarrow}(f(A))[/tex] jer za svaki [tex]a \in A[/tex] vrijedi [tex]f(a)\in f(A)[/tex], a po definiciji je [tex]f^{\leftarrow}(f(A))=\{a\in D~|~f(a)\in f(A)\}[/tex].
No obrnuta inkluzija ne vrijedi jer nije nemoguće da postoji neki element x koji je izvan A, a da mu je slika u f(A).
Npr. promatraj funkciju [tex]f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=0[/tex]. Neka je [tex]A=\{1,2,3,5,19\}[/tex]. Tada je [tex]f(A)=\{f(a)~|~a\in A\}=\{0\}[/tex].
Npr. 7 nije u A, a vrijedi [tex]f(7)=0\in f(A)[/tex] što znači da je 7 u [tex]f^{\leftarrow}(f(A))[/tex].
[quote]Drugi je sličan:
E je podskup od K, K je kodomena.
Odredi odnos skupova E i [tex]f(f^{\leftarrow}(E))[/tex] i našao sam primjer u knjizi da je to jednako [tex]E\bigcap f(D)\subseteq E[/tex]. U knjizi nije ništa objašnjeno, a meni nije jasno :?
f(D) je očito cijela kodomena.[/quote]
f(D) će biti cijela kodomena samo ako je f surjekcija. Možeš opet promatrati funkciju koju sam iznad definirao. Tamo je [tex]f(D)=f(\mathbb{R})=\{0\}\ne \mathbb{R}[/tex].
[quote] Presjek podskupa E kodomene i same kodomene je taj podskup E, šta ne?[/quote]
Tako je. No slika domene nije uvijek čitava kodomena. Pogledaj npr. [tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2[/tex]. Neka je [tex]E=\{x\in\mathbb{R}~|~x<0\}[/tex], to jest, E je skup svih negativnih realnih brojeva.
Tada je [tex]E\cap f(\mathbb{R})=\emptyset[/tex] (što očito nije jednako E, nego je samo podskup od E) jer je [tex]f(\mathbb{R})=\{x\in\mathbb{R}~|~x\geq 0\}[/tex]
[quote]Svakako ne razumijem zašto je [tex]E\supseteq f(f^{\leftarrow}(E))[/tex][/quote]
Uvijek vrijedi [tex]E\supseteq f(f^{\leftarrow}(E))[/tex] jer ako je [tex]y\in f(f^{\leftarrow}(E))[/tex], postoji [tex]x[/tex] iz [tex]f^{\leftarrow}(E)[/tex] td. je [tex]f(x)=y[/tex] i [tex]f(x)\in E[/tex] pa jer je [tex]f(x)=y[/tex], onda je i [tex]y \in E[/tex].
No obrnuta inkluzija ne vrijedi uvijek jer skup E može ili čitav biti izvan f(D) ili dijelom izvan f(D), ali i dalje unutar kodomene. Možeš opet pogledati primjer kvadratne funkcije koju sam malo prije definirao, a za E možeš uzeti bilo koji skup koji sadrži bar jedan negativan broj.
| Zenon (napisa): | Pozdrav!
Nisu mi jasni ovi zadaci koje smo dobili za zadaću:
Neka je A podskup od D, D je domena funkcije.
Odredi odnos skupova A i [tex]f^{\leftarrow}(f(A))[/tex]. |
Jasno je da je uvijek [tex]A \subseteq f^{\leftarrow}(f(A))[/tex] jer za svaki [tex]a \in A[/tex] vrijedi [tex]f(a)\in f(A)[/tex], a po definiciji je [tex]f^{\leftarrow}(f(A))=\{a\in D~|~f(a)\in f(A)\}[/tex].
No obrnuta inkluzija ne vrijedi jer nije nemoguće da postoji neki element x koji je izvan A, a da mu je slika u f(A).
Npr. promatraj funkciju [tex]f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=0[/tex]. Neka je [tex]A=\{1,2,3,5,19\}[/tex]. Tada je [tex]f(A)=\{f(a)~|~a\in A\}=\{0\}[/tex].
Npr. 7 nije u A, a vrijedi [tex]f(7)=0\in f(A)[/tex] što znači da je 7 u [tex]f^{\leftarrow}(f(A))[/tex].
| Citat: | Drugi je sličan:
E je podskup od K, K je kodomena.
Odredi odnos skupova E i [tex]f(f^{\leftarrow}(E))[/tex] i našao sam primjer u knjizi da je to jednako [tex]E\bigcap f(D)\subseteq E[/tex]. U knjizi nije ništa objašnjeno, a meni nije jasno 
f(D) je očito cijela kodomena. |
f(D) će biti cijela kodomena samo ako je f surjekcija. Možeš opet promatrati funkciju koju sam iznad definirao. Tamo je [tex]f(D)=f(\mathbb{R})=\{0\}\ne \mathbb{R}[/tex].
| Citat: | | Presjek podskupa E kodomene i same kodomene je taj podskup E, šta ne? |
Tako je. No slika domene nije uvijek čitava kodomena. Pogledaj npr. [tex]f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x^2[/tex]. Neka je [tex]E=\{x\in\mathbb{R}~|~x<0\}[/tex], to jest, E je skup svih negativnih realnih brojeva.
Tada je [tex]E\cap f(\mathbb{R})=\emptyset[/tex] (što očito nije jednako E, nego je samo podskup od E) jer je [tex]f(\mathbb{R})=\{x\in\mathbb{R}~|~x\geq 0\}[/tex]
| Citat: | | Svakako ne razumijem zašto je [tex]E\supseteq f(f^{\leftarrow}(E))[/tex] |
Uvijek vrijedi [tex]E\supseteq f(f^{\leftarrow}(E))[/tex] jer ako je [tex]y\in f(f^{\leftarrow}(E))[/tex], postoji [tex]x[/tex] iz [tex]f^{\leftarrow}(E)[/tex] td. je [tex]f(x)=y[/tex] i [tex]f(x)\in E[/tex] pa jer je [tex]f(x)=y[/tex], onda je i [tex]y \in E[/tex].
No obrnuta inkluzija ne vrijedi uvijek jer skup E može ili čitav biti izvan f(D) ili dijelom izvan f(D), ali i dalje unutar kodomene. Možeš opet pogledati primjer kvadratne funkcije koju sam malo prije definirao, a za E možeš uzeti bilo koji skup koji sadrži bar jedan negativan broj.
_________________
The Dude Abides
|
