interval konvergencije redova

[frutabella]

c) suma (od 1 do besk) [(x-2)^n ] / [(2n-1)*2^n]


Moze pomoc molim vas.

[kenny]

[dtex]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{(2n-1)\cdot 2^n} [/dtex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(x-2)^{n+1}}{(2n+1)\cdot 2^{n+1}}}{\frac{(x-2)^{n}}{(2n-1)\cdot 2^{n}}}\right| = \lim_{n \to \infty}\left| \frac{(2n-1)(x-2)}{2(2n+1)}\right| = \frac{|x-2|}{2} \lim_{n \to \infty} \left|\frac{2n-1}{2n+1}\right| = \frac{|x-2|}{2}[/tex]

I za kraj... [tex]\frac{|x-2|}{2}<1 \Rightarrow |x-2| < 2 \Rightarrow x \in <0,4>[/tex]

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[frutabella]

https://mail-attachment.googleusercontent.com/attachment?ui=2&ik=49415c6381&view=att&th=1329b20a4394125b&attid=0.1&disp=inline&realattid=f_gsyhz7jd0&safe=1&zw&saduie=AG9B_P9kAGzxNa6gkkGgIdUupQXy&sadet=1316862630313&sads=Bju--Jt4CkoCnZLXfLONoxdtxmI&sadssc=1

moze pod f)


Hvala!

[kenny]

Hm, možda bi i mogao kada bi vidio zadatak

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[frutabella]

Ja kad otvorim file vidim.

Evo ovako:


suma (0 → besk) ([n+2]/[3n-1]) * x^2

Added after 18 minutes:

jos pod h) molim :


([n/(2n+1)] * (x+1)^(n-1)

[kenny]

Pa ti vidiš jer je na tvom mailu file, a ne na mom.

Znači, logika je ista. Koristi kvocijentni test (D'Alamberov kriterij). Evo, riješit ću ti ovaj pod h, a onda ti riješi pod f.

Objašnjenje prije... D'Alamberov kriterij kaže da je red konvergentan ako [tex]\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<1[/tex]

[dtex]\sum_{n=0}^\infty \frac{n\cdot (x+1)^{n-1}}{2n+1}[/dtex]

[tex]\lim_{n \to \infty} \left|\frac{\frac{(n+1) (x+1)^n}{2n+3}}{\frac{n(x+1)^{n-1}}{2n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(n+1)(2n+1)(x+1)^n}{(2n^2+3n)(x+1)^{n-1}} \right|= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(2n^2+3n+1)(x+1)}{2n^2+3n} \right| = |x+1| \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n} \right| = |x+1|[/tex]

[tex]|x+1| < 1 \Rightarrow x \in ←2, 0>[/tex]

Upozorenje: rješavao sam direktno na kompu, bez provjere na papiru, pa daj provjeri je li sve ok...

Added after 6 minutes:

E da, zaboravio sam na provjeru u rubovima. Dakle, za svaki zadatak se mora još provjeriti kako se red ponaša u rubovima. Uvrstiš prvo jedan, pa drugi rub i onda pogledaš kakvi su ti redovi. Ako je neki od njih konvergentan, onda rješenje treba korigirati na način da uključuje i taj rub.

_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.

by A.Einstein

[hstojanovic]

Ovakvi zadaci se obično rješavaju Cauchy-Hadamardovom formulom, što naravno daje ista rješenja, samo je možda nešto kraće.

Edit: Ups, ipak zbog provjeravanja rubova nije nimalo kraće nego se svodi na skoro isto.

[frutabella]

Hvala puno!