zadaci(spektar, minimalni polinom, nilpotentnost)

[pitanje]

Zna li netko riješiti ove zadatke, ili bar neke od njih, imam dojam da je nesto prejednostavno ali nikako ne uspjevam:
1. Neka je dimV = n>2 i T iz L (V) operator takav da je r(T+I)=2, tr(T+I)=0 te je poznato da je 1 element iz spektra od T. Nađite minimalni polinom od T.
2. Linearni operator A iz L(C na petu) ima minimalni polinom μA(λ)= λ2(λ-2π). Je li operator sinA + cosA - I regularan? Je li A nilpotentan?
3. Neka su P, Q iz L(V,W) takvi da vrijedi r(P)=r(Q)=1 i ImP razlicito od ImQ. Izračunajte rang operatora P+Q.
4. Neka je dimV=n>1 te A iz L(V) takav da je r(A+I)=tr(A-I)=1. Nađite minimalni polinom i spektar operatora A.
5. Zadan je operator A iz L(C3) matricom u nekoj bazi 1 1 1
A= -1 -1 0
0 0 1
Dokažite da su operatori tg(πA) i cos(πA)2 – I nilpotentni.
*λ2 =λ na kvadrat
*(πA)2 =(πA) na kvadrat

Added after 2 minutes:

matrica A je
1 1 1
-1 -1 0
0 0 1

[sz]

Dugo ne taknuh Vektorske, pa da probam:

1. r(T+I)=2 pa je d(T+I)=n-2, tj. u Jordanovoj formi od T nalaze se n-2 bloka sa svojstvenom vrijednosti -1 na dijagonali; iz toga izvlačimo da se -1 na dijagonali pojavljuje barem n-2 puta. Budući da je 1 u spektru, barem jedno mjesto na dijagonali pripada jedinici.
T+I onda u toj bazi na dijagonali ima bar n-2 nule i bar jednu 2 pa vidimo da je uvjet o tragu zadovoljen samo ako T na dijagonali ima točno n-2 (-1)-ice (i svaka čini poseban blok), jednu 1 i jednu -3 --> radi se o poluprostom operatoru sa spektrom {-3,1,-1} pa je minimalni polinom (x+3)(x+1)(x-1).

2. Iz minimalnog polinoma zaključujemo da se u Jordanovoj formi mora pojaviti bar jedan blok 1x1 sa s.v. 2pi i bar jedan blok 2x2 sa s.v. 0. Pa sad samo zapišeš kako izgleda fja operatora na tim blokovima (ona formula s funkcijskim vrijednostima na dijagonali i derivacijama kroz faktorijele iznad dijagonale) i zaključiš može li operator s takvim prikazom biti regularan.

Kako izgleda spektar, odnosno minimalni polinom, nilpotentnog operatora?

3. Neka je Im P razapeta sa w1, a Im Q sa w2. Tada su w1 i w2 linearno nezavisni. Im(P+Q) je sadržana u Im P + Im Q pa je njena dimenzija <= 2.
Ako su jezgre operatora P i Q različite, onda možemo uzeti x iz Ker P\Ker Q i y iz Ker Q\Ker P. (P+Q)x = nenulnesto*w2, (P+Q)y = nestonenula*w1 --> u Im(P+Q) imamo 2 linearno nezavisna vektora pa je r(P+Q)=2.
Ako su jezgre operatora P i Q jednake, onda Ker(P+Q) sadrži Ker P = Ker Q pa je d(P+Q) >= d(P), tj., po Tmu o rangu i defektu, r(P+Q) <= r(P) = 1. Očito ne može biti < 1 (bilo bi P + Q = 0, tj. P = -Q, pa bi P i Q imali istu sliku), dakle u tom je slučaju r(P+Q) = 1.

4. Slično kao 1. (mislim da rješenje ovdje ovisi o n).

5. Izračunaj spektar i, npr. uočavanjem da je d(A) = 1, d(A^2) = 2, odredi kako izgleda Jordanova forma od A. Onda, kao u 2., zapiši kako u Jordanovoj bazi od A izgledaju dane fje operatora; mislim da se odmah dobiju u Jordanovoj formi. U svakom slučaju, uvijek vrijedi ona: operator je nilpotentan akko mu je spektar {0}.

[pitanje]

Hvala puno!!