| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
dodoria
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 04. 10. 2011. (13:31:15)
Postovi: (E)16
|
 Postano: 17:56 uto, 11. 10. 2011 Naslov: Kako sredjivati ovaj tip zadatka? |
    |
|
|
Jednostavno pitanje, ali ipak..
Ako imam za odrediti f(A) i imam zadani neki f(x) te A, primjerice: A=[0, 3], f(x)= x^2 - 4x - 5, rjesavam li to tako da u pocetnu jednadzbu ubacim x= 0 i x= 3 pa dobijem nekakav interval ili?
Mi ovo uvijek sredjujemo uz crtez, no kako to srediti cisto racunski? Ne samo ovaj zadatak konkretno (ali pomoglo bi da se pokaze na primjeru), nego bilo kakav zadatak s f(A), neovisno o f(x) i A.
Eto, unaprijed hvala na odgovoru.[/list]
Jednostavno pitanje, ali ipak..
Ako imam za odrediti f(A) i imam zadani neki f(x) te A, primjerice: A=[0, 3], f(x)= x^2 - 4x - 5, rjesavam li to tako da u pocetnu jednadzbu ubacim x= 0 i x= 3 pa dobijem nekakav interval ili?
Mi ovo uvijek sredjujemo uz crtez, no kako to srediti cisto racunski? Ne samo ovaj zadatak konkretno (ali pomoglo bi da se pokaze na primjeru), nego bilo kakav zadatak s f(A), neovisno o f(x) i A.
Eto, unaprijed hvala na odgovoru.[/list]
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3562)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 22:09 uto, 11. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Nije dosta samo rubove gledati. Primjer:
[tex]f(x) = \sin x, \quad A = \left[0, \frac{3\pi}{4} \right][/tex].
Ako uvrstis rubove, dobijes
[tex]f(A) = \left[ f(0), f\left( \frac{3\pi}{4} \right) \right] = \left[ 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right][/tex],
sto je krivo. Tocno je:
[tex]f(A) = [0, 1][/tex],
sto lako vidis [url=http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot%5BSin%5Bx%5D%252C%2B%7Bx%252C%2B0%252C%2B3Pi%252F4%7D%5D]ovdje[/url].
Trebaju ti rubovi i svi ekstremi izmedju njih, sto je malo predugacko da objasnjavam ovako (hint: derivacije).
Crtez ti tu moze pomoci, ali ne smatra se skroz korektnim rjesenjem.
Nije dosta samo rubove gledati. Primjer:
[tex]f(x) = \sin x, \quad A = \left[0, \frac{3\pi}{4} \right][/tex].
Ako uvrstis rubove, dobijes
[tex]f(A) = \left[ f(0), f\left( \frac{3\pi}{4} \right) \right] = \left[ 0, \frac{\sqrt{2}}{2} \right][/tex],
sto je krivo. Tocno je:
[tex]f(A) = [0, 1][/tex],
sto lako vidis ovdje.
Trebaju ti rubovi i svi ekstremi izmedju njih, sto je malo predugacko da objasnjavam ovako (hint: derivacije).
Crtez ti tu moze pomoci, ali ne smatra se skroz korektnim rjesenjem.
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
hstojanovic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 10. 2010. (18:00:01)
Postovi: (30)16
Spol:
|
| Postano: 22:54 uto, 11. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Na analizi 1 derivacije neće biti potrebne (jer se tad još ne uče :D), a u danom primjeru je potrebno odrediti tjeme i smjer otvora te parabole (kvadratne funkcije) i odrediti gdje se rubne točke skupa A odnose u odnosu na njega. A to je svakako najlakše tako da nakon što pronađeš sve te podatke da si nacrtaš skicu na kojoj ćeš označiti sve to, možeš i čisto računski gledati u ovom primjeru s koje strane tjemena se nalazi koja rubna točka skupa A, ali zašto komplicirati kad se na skici sve to lijepo vidi :)
A što se tiče drugih funkcija, za svaku funkciju s kojom ćeš se susresti u određivanju slike ste naučili kako ta funkcija izgleda i neka njena svojstva pomoću kojih se odrede ekstremi ako postoje (kao npr tjeme i smjer otvora kod parabole). Ako te muči neki specifičan primjer, reci pa ti mogu detaljnije raspisati.
Konkretno za ovaj primjer:
Jedini ekstrem je globalni minimum tj. tjeme u [tex](2,-9)[/tex] (minimum jer je parabola okrenuta prema gore zbog pozitivnog vodećeg koeficijenta), a rubne točke od A su na praboli u [tex](0,-5)[/tex] i [tex] (3,-8 )[/tex]. Sada kako je jedna rubna točka "lijevo" od tjemena, a druga "desno" zaključujemo da je slika od vrijednosti u tjemenu do veće od vrijednosti u rubovima tj. [tex][-9,-5][/tex] što se najlakše ipak vidi iz crteža.
Na analizi 1 derivacije neće biti potrebne (jer se tad još ne uče  ), a u danom primjeru je potrebno odrediti tjeme i smjer otvora te parabole (kvadratne funkcije) i odrediti gdje se rubne točke skupa A odnose u odnosu na njega. A to je svakako najlakše tako da nakon što pronađeš sve te podatke da si nacrtaš skicu na kojoj ćeš označiti sve to, možeš i čisto računski gledati u ovom primjeru s koje strane tjemena se nalazi koja rubna točka skupa A, ali zašto komplicirati kad se na skici sve to lijepo vidi 
A što se tiče drugih funkcija, za svaku funkciju s kojom ćeš se susresti u određivanju slike ste naučili kako ta funkcija izgleda i neka njena svojstva pomoću kojih se odrede ekstremi ako postoje (kao npr tjeme i smjer otvora kod parabole). Ako te muči neki specifičan primjer, reci pa ti mogu detaljnije raspisati.
Konkretno za ovaj primjer:
Jedini ekstrem je globalni minimum tj. tjeme u [tex](2,-9)[/tex] (minimum jer je parabola okrenuta prema gore zbog pozitivnog vodećeg koeficijenta), a rubne točke od A su na praboli u [tex](0,-5)[/tex] i [tex] (3,-8 )[/tex]. Sada kako je jedna rubna točka "lijevo" od tjemena, a druga "desno" zaključujemo da je slika od vrijednosti u tjemenu do veće od vrijednosti u rubovima tj. [tex][-9,-5][/tex] što se najlakše ipak vidi iz crteža.
|
|
| [Vrh] |
|
Cupcake
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 01. 10. 2011. (18:52:00)
Postovi: (1B)16
Spol: 
|
| Postano: 10:07 ned, 16. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
Imam nekoliko pitanja vezana uz zadatke sa kolokvija,
Imamo funkciju √(4sh(lnx)-x) (ne znam kako se tu to lijepo zapise, ali sve je pod korijenom) te trebamo odrediti domenu. Jasno mi je da 4sh(lnx)-x mora biti jednako ili vece od nule, no ne znam rijesiti tu jednadzbu. I naravno uz to x mora biti vece od nule.
Kako se rjesava jednadzba oblika cos(3arccosx)=2x^(3)-2x . Pretpostavljam da bi se to trebalo raspisati te dobiti jednadzba oblika polinoma treceg stupnja, ali ne znam kako to raspisati. Pokusala sam pomocu adicijskih formula za cosinus, ali sam se negdje zaplela i ne dobivam nista sto bi se moglo lijepo zapisati.
Kada trebamo odrediti inverz neke funkcije, konkretno (|cosx|-2)^2 koja ide iz [-pi, -pi/2] u [1,4 ]jasno mi je da ju trebamo prikazati kao kompoziciju te dokazati da je bijekcija i tek onda odrediti inverz.
ja sam ju prikazala kao f=g°h; g=x^2 te h=|cosx|-2.
Kada trazimo inverz funkcije h koja ide iz [-pi,-pi/2] u [-2,-1], znam da moramo to prikazati kao arccos( ). Kako znam da arccos ide iz 0 do pi, moje pitanje je kako prikazati cosinus da ga mozemo prikazati kao arccos?
Imam nekoliko pitanja vezana uz zadatke sa kolokvija,
Imamo funkciju √(4sh(lnx)-x) (ne znam kako se tu to lijepo zapise, ali sve je pod korijenom) te trebamo odrediti domenu. Jasno mi je da 4sh(lnx)-x mora biti jednako ili vece od nule, no ne znam rijesiti tu jednadzbu. I naravno uz to x mora biti vece od nule.
Kako se rjesava jednadzba oblika cos(3arccosx)=2x^(3)-2x . Pretpostavljam da bi se to trebalo raspisati te dobiti jednadzba oblika polinoma treceg stupnja, ali ne znam kako to raspisati. Pokusala sam pomocu adicijskih formula za cosinus, ali sam se negdje zaplela i ne dobivam nista sto bi se moglo lijepo zapisati.
Kada trebamo odrediti inverz neke funkcije, konkretno (|cosx|-2)^2 koja ide iz [-pi, -pi/2] u [1,4 ]jasno mi je da ju trebamo prikazati kao kompoziciju te dokazati da je bijekcija i tek onda odrediti inverz.
ja sam ju prikazala kao f=g°h; g=x^2 te h=|cosx|-2.
Kada trazimo inverz funkcije h koja ide iz [-pi,-pi/2] u [-2,-1], znam da moramo to prikazati kao arccos( ). Kako znam da arccos ide iz 0 do pi, moje pitanje je kako prikazati cosinus da ga mozemo prikazati kao arccos?
|
|
| [Vrh] |
|
Optimum
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2011. (09:16:23)
Postovi: (41)16
Spol: 
Lokacija: Zagreb
|
| Postano: 10:40 ned, 16. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="Cupcake"]Imam nekoliko pitanja vezana uz zadatke sa kolokvija,
Imamo funkciju √(4sh(lnx)-x) (ne znam kako se tu to lijepo zapise, ali sve je pod korijenom) te trebamo odrediti domenu. Jasno mi je da 4sh(lnx)-x mora biti jednako ili vece od nule, no ne znam rijesiti tu jednadzbu. I naravno uz to x mora biti vece od nule.[/quote]
da, znači imaš prvi uvjet... uvjet je da x mora biti veći od nule... e sad gledaš... znaš da ovo ispod korjena treba biti veće ili jednako nuli...
sad: ako je 0<x<1, onda je ln negativan, samim time i sinus hiperbolni, pa je i sve pod korjenom negativno, što nesmije biti...
znači x je sigurno veći od 1... što vidiš i kad uvrstiš x=1... za x=1 očito nema realnog rješenja... znači sigurno je x>1... a sad možeš viditi da će za x>1 ln biti pozitivan, samim time i sinus hiperbolni, te kad taj rezultat pomnožiš sa 4, sigurno će biti veće od samog x-a...
[quote="Cupcake"]Kako se rjesava jednadzba oblika cos(3arccosx)=2x^(3)-2x . Pretpostavljam da bi se to trebalo raspisati te dobiti jednadzba oblika polinoma treceg stupnja, ali ne znam kako to raspisati. Pokusala sam pomocu adicijskih formula za cosinus, ali sam se negdje zaplela i ne dobivam nista sto bi se moglo lijepo zapisati.[/quote]
cos(3arccosx) je inače Čebiševljev polinom 3. stupnja...
stvar je u tome da ovaj cos(3arccosx) raspišeš kao trostruki kut:
cos(arccosx+2arccosx)=x*cos(2arccosx)-sin(arccosx)*sin(2arccosx)=
sad ove sa 2arccosx raspisuješ po adicijskim formulama za dvostruki kut...=
=x*[(cos^2arccsox)-(sin^2arccosx)]-sin(arccosx)*[2*sinarccosx*cosarccosx]=
=x*[x^2-(1-x^2)] - 2(1-x^2)*x= x^3 + x^2 - x - 2 + 2x^3=
=3x^3 + x^2 - x -2
i sad samo riješiš jednadžbu...
| Cupcake (napisa): | Imam nekoliko pitanja vezana uz zadatke sa kolokvija,
Imamo funkciju √(4sh(lnx)-x) (ne znam kako se tu to lijepo zapise, ali sve je pod korijenom) te trebamo odrediti domenu. Jasno mi je da 4sh(lnx)-x mora biti jednako ili vece od nule, no ne znam rijesiti tu jednadzbu. I naravno uz to x mora biti vece od nule. |
da, znači imaš prvi uvjet... uvjet je da x mora biti veći od nule... e sad gledaš... znaš da ovo ispod korjena treba biti veće ili jednako nuli...
sad: ako je 0<x<1, onda je ln negativan, samim time i sinus hiperbolni, pa je i sve pod korjenom negativno, što nesmije biti...
znači x je sigurno veći od 1... što vidiš i kad uvrstiš x=1... za x=1 očito nema realnog rješenja... znači sigurno je x>1... a sad možeš viditi da će za x>1 ln biti pozitivan, samim time i sinus hiperbolni, te kad taj rezultat pomnožiš sa 4, sigurno će biti veće od samog x-a...
| Cupcake (napisa): | | Kako se rjesava jednadzba oblika cos(3arccosx)=2x^(3)-2x . Pretpostavljam da bi se to trebalo raspisati te dobiti jednadzba oblika polinoma treceg stupnja, ali ne znam kako to raspisati. Pokusala sam pomocu adicijskih formula za cosinus, ali sam se negdje zaplela i ne dobivam nista sto bi se moglo lijepo zapisati. |
cos(3arccosx) je inače Čebiševljev polinom 3. stupnja...
stvar je u tome da ovaj cos(3arccosx) raspišeš kao trostruki kut:
cos(arccosx+2arccosx)=x*cos(2arccosx)-sin(arccosx)*sin(2arccosx)=
sad ove sa 2arccosx raspisuješ po adicijskim formulama za dvostruki kut...=
=x*[(cos^2arccsox)-(sin^2arccosx)]-sin(arccosx)*[2*sinarccosx*cosarccosx]=
=x*[x^2-(1-x^2)] - 2(1-x^2)*x= x^3 + x^2 - x - 2 + 2x^3=
=3x^3 + x^2 - x -2
i sad samo riješiš jednadžbu...
|
|
| [Vrh] |
|
hstojanovic
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 16. 10. 2010. (18:00:01)
Postovi: (30)16
Spol:
|
| Postano: 19:22 ned, 16. 10. 2011 Naslov: |
|
|
|
[quote="Cupcake"]Kada trebamo odrediti inverz neke funkcije, konkretno (|cosx|-2)^2 koja ide iz [-pi, -pi/2] u [1,4 ]jasno mi je da ju trebamo prikazati kao kompoziciju te dokazati da je bijekcija i tek onda odrediti inverz.
ja sam ju prikazala kao f=g°h; g=x^2 te h=|cosx|-2.
Kada trazimo inverz funkcije h koja ide iz [-pi,-pi/2] u [-2,-1], znam da moramo to prikazati kao arccos( ). Kako znam da arccos ide iz 0 do pi, moje pitanje je kako prikazati cosinus da ga mozemo prikazati kao arccos?[/quote]
za x iz [-pi,-pi/2] vrijedi cosx<=0 pa možemo zapisati f kao f(x)=(-cosx-2)^2=(cosx+2)^2. Neka f1(x)=x^2, f2(x)=x+2, f3(x)=cosx pa je tada f=f1 o f2 o f3. (Zastupam stajalište da treba uzeti što više kompozicija jer tada je rješavanje jednostavnije. :D) Tvoj problem je dakle naći inverz od f3 tj. cosx tako da ide iz [-1,0] u [-pi,-pi/2]. Znamo da arccos je inverz od cos koji s [-1,0] ide u [pi/2,pi] a kako znamo da je cos paran vrijedit će x=cos(arccosx)=cos(-arccosx) za x iz [-1,1] tj. i -arccos će biti inverz od cos na istom intervalu kao i arccos tj. na [-1,1] (provjeravamo samo ovakvo kompoziranje f3 o f3^(-1) jer nas zanima samo taj smjer), ali za razliku od standardnog arccos, -arccos će djelovati baš na željeni način tj. [-1,0] će ići u [-pi,-pi/2] pa je zato traženi inverz od f3 zapravo f3^(-1)=-arccos.
A generalno kad se traži ovakav inverz treba koristeći neka svojstva trigonometrijskih funkcija namjestiti valjan inverz koji je izražen pomoću standardnog, a da baš djeluje na željeni način, ne znam baš postoji li neka metoda koja će direktno dati rješenje.
[quote="Optimum"]cos(3arccosx) je inače Čebiševljev polinom 3. stupnja...
stvar je u tome da ovaj cos(3arccosx) raspišeš kao trostruki kut:
cos(arccosx+2arccosx)=x*cos(2arccosx)-sin(arccosx)*sin(2arccosx)=
sad ove sa 2arccosx raspisuješ po adicijskim formulama za dvostruki kut...=
=x*[(cos^2arccsox)-(sin^2arccosx)]-sin(arccosx)*[2*sinarccosx*cosarccosx]=
=x*[x^2-(1-x^2)] - 2(1-x^2)*x= x^3 + x^2 - x - 2 + 2x^3=
=3x^3 + x^2 - x -2
i sad samo riješiš jednadžbu...[/quote]
Čebiševljev polinom 3. stupnja je 4x^3-3x tako da mislim da imaš grešku negdje u računu...
| Cupcake (napisa): | Kada trebamo odrediti inverz neke funkcije, konkretno (|cosx|-2)^2 koja ide iz [-pi, -pi/2] u [1,4 ]jasno mi je da ju trebamo prikazati kao kompoziciju te dokazati da je bijekcija i tek onda odrediti inverz.
ja sam ju prikazala kao f=g°h; g=x^2 te h=|cosx|-2.
Kada trazimo inverz funkcije h koja ide iz [-pi,-pi/2] u [-2,-1], znam da moramo to prikazati kao arccos( ). Kako znam da arccos ide iz 0 do pi, moje pitanje je kako prikazati cosinus da ga mozemo prikazati kao arccos? |
za x iz [-pi,-pi/2] vrijedi cosx⇐0 pa možemo zapisati f kao f(x)=(-cosx-2)^2=(cosx+2)^2. Neka f1(x)=x^2, f2(x)=x+2, f3(x)=cosx pa je tada f=f1 o f2 o f3. (Zastupam stajalište da treba uzeti što više kompozicija jer tada je rješavanje jednostavnije. ) Tvoj problem je dakle naći inverz od f3 tj. cosx tako da ide iz [-1,0] u [-pi,-pi/2]. Znamo da arccos je inverz od cos koji s [-1,0] ide u [pi/2,pi] a kako znamo da je cos paran vrijedit će x=cos(arccosx)=cos(-arccosx) za x iz [-1,1] tj. i -arccos će biti inverz od cos na istom intervalu kao i arccos tj. na [-1,1] (provjeravamo samo ovakvo kompoziranje f3 o f3^(-1) jer nas zanima samo taj smjer), ali za razliku od standardnog arccos, -arccos će djelovati baš na željeni način tj. [-1,0] će ići u [-pi,-pi/2] pa je zato traženi inverz od f3 zapravo f3^(-1)=-arccos.
A generalno kad se traži ovakav inverz treba koristeći neka svojstva trigonometrijskih funkcija namjestiti valjan inverz koji je izražen pomoću standardnog, a da baš djeluje na željeni način, ne znam baš postoji li neka metoda koja će direktno dati rješenje.
| Optimum (napisa): | cos(3arccosx) je inače Čebiševljev polinom 3. stupnja...
stvar je u tome da ovaj cos(3arccosx) raspišeš kao trostruki kut:
cos(arccosx+2arccosx)=x*cos(2arccosx)-sin(arccosx)*sin(2arccosx)=
sad ove sa 2arccosx raspisuješ po adicijskim formulama za dvostruki kut...=
=x*[(cos^2arccsox)-(sin^2arccosx)]-sin(arccosx)*[2*sinarccosx*cosarccosx]=
=x*[x^2-(1-x^2)] - 2(1-x^2)*x= x^3 + x^2 - x - 2 + 2x^3=
=3x^3 + x^2 - x -2
i sad samo riješiš jednadžbu... |
Čebiševljev polinom 3. stupnja je 4x^3-3x tako da mislim da imaš grešku negdje u računu...
|
|
| [Vrh] |
|
Optimum
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 09. 2011. (09:16:23)
Postovi: (41)16
Spol:
Lokacija: Zagreb
|
|
| [Vrh] |
|
|
