|
Evo prve domaće zadaće, zasad u "radnoj verziji", dok se ne objavi
i na web stranicama kolegija. Iznimno samo prvu zadaću objavljujemo
na forumu, ubuduće redovito na web stranicama.
Ako neki zapis nije jasan, pitajte.
LA2 – 1. domaća zadaća
1. Ispitajte je li preslikavanje s: [b]R[/b]2 x [b]R[/b]2 --> [b]R[/b] skalarni produkt na prostoru [b]R[/b]2: za x = (x1, x2) i y = (y1, y2),
s(x,y) = x1(y1 - 2y2) + x2(-2y1 + 4y2).
2. Neka je B =([b]b[/b]1,[b]b[/b]2,[b]b[/b]3) baza prostora V3(O) koja se sastoji od tri jedinična vektora, takva da svaka dva među njima
zatvaraju kut od 120 stupnjeva.
(a) Izrazite standardni skalarni produkt [b]x[/b] • [b]y[/b] u V3
pomoću koordinata vektora u bazi B (tj. pomoću prikaza
[b]x[/b] = x1[b]b[/b]1 + x2[b]b[/b]2 + x3[b]b[/b]3, itd)
(b) Kako se pomoću (a) može zaključiti da za bilo koja tri realna broja x1,x2,x3 vrijedi nejednakost
(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2 ≥ x1x2 + x2x3 + x3x1 ?
(c) Odredite neku bazu B sa svojstvom iz (a) (vektore
te baze prikažite u standardnoj ortonormiranoj bazi ([b]i[/b],[b]j[/b],[b]k[/b])).
3. Na unitarnom prostoru P2 realnih polinoma stupnja
najviše 2 sa standardnim skalarnim produktom (integral
umnoška polinoma na segmentu [-1,1]) provjerite da
vrijedi Cauchy-Schwarzova nejednakost za polinome
p(t) = 1 – t^2, q(t) = 1 + t + t^2.
4. U unitarnom prostoru [b]R[/b]4 (standardni skalarni produkt)
nađite neka dva vektora, različita od nulvektora, koji
su ortogonalni na svaki od vektora (1,-1,1,-1) i
(1,1,1,-1), a ortogonalni su i međusobno.
Evo prve domaće zadaće, zasad u "radnoj verziji", dok se ne objavi
i na web stranicama kolegija. Iznimno samo prvu zadaću objavljujemo
na forumu, ubuduće redovito na web stranicama.
Ako neki zapis nije jasan, pitajte.
LA2 – 1. domaća zadaća
1. Ispitajte je li preslikavanje s: R2 x R2 → R skalarni produkt na prostoru R2: za x = (x1, x2) i y = (y1, y2),
s(x,y) = x1(y1 - 2y2) + x2(-2y1 + 4y2).
2. Neka je B =(b1,b2,b3) baza prostora V3(O) koja se sastoji od tri jedinična vektora, takva da svaka dva među njima
zatvaraju kut od 120 stupnjeva.
(a) Izrazite standardni skalarni produkt x • y u V3
pomoću koordinata vektora u bazi B (tj. pomoću prikaza
x = x1b1 + x2b2 + x3b3, itd)
(b) Kako se pomoću (a) može zaključiti da za bilo koja tri realna broja x1,x2,x3 vrijedi nejednakost
(x1)^2+(x2)^2+(x3)^2 ≥ x1x2 + x2x3 + x3x1 ?
(c) Odredite neku bazu B sa svojstvom iz (a) (vektore
te baze prikažite u standardnoj ortonormiranoj bazi (i,j,k)).
3. Na unitarnom prostoru P2 realnih polinoma stupnja
najviše 2 sa standardnim skalarnim produktom (integral
umnoška polinoma na segmentu [-1,1]) provjerite da
vrijedi Cauchy-Schwarzova nejednakost za polinome
p(t) = 1 – t^2, q(t) = 1 + t + t^2.
4. U unitarnom prostoru R4 (standardni skalarni produkt)
nađite neka dva vektora, različita od nulvektora, koji
su ortogonalni na svaki od vektora (1,-1,1,-1) i
(1,1,1,-1), a ortogonalni su i međusobno.
|
