Ispitivanje niza (zadatak)

[diegobisbal]

Ja sam malo zapela na jednom zadatku,uglavnom dat je niz i treba ispitati da li ima min,max,sup i inf.
x_n=cos nPi-((-1)^n)/n
ja sam nasla podniz x(2n) i x(2n-1)
ovaj sa parniim raste,a neparni opadaju.I ja sam dobila da oni nemaju min,ni max.Nasla sam tacke gomilanja {-1,1}
I sada ne znam za sup i inf,kako da to gledam.Da li zato sto parni rastu ka 1 je supx=1,a neparni kako opadaju ka -1,inf x=-1
Ako ima neko da mi to malo objasni,jer ne znam bas kakko se radi kada dokazemo da nema min i max.Unaprijed hvala

[matkec]

Dakle, limes kad su indexi parni je 1, a kad su neparni je -1. (Ilitiga {-1,1} su gomilišta.)

Uzmimo kad su indexi parni.
Primijeti da je taj podniz monoton i ograničen (članovi su manji od 1 i veći od 0). Tada, ako proučiš teorem 2.3. iz Guljaševe skripte, imaš pravo reći da je limes ovog podniza ujedno i supremum. Limes je dakako 1. Pošto su i neparni članovi manji od 1, taj broj je supremum cijelog skupa.
S neparnima ide analogno (u tom slučaju dobivaš infinum).

Inače, supremum možeš računati direktno iz definicije (1.11. u istoj skripti). Pogodi koji je broj L zapravo supremum, dokažeš da su svi članovi niza/skupa manji od njega, a onda za svaki dokažeš da postoji neki član koji je veći od (tj. dokažeš da niti jedan broj manji od L ne može biti supremum).
U ovom slučaju možda nije pametno ići na ovaj drugi način jer tako radiš sve što je već napravljeno u teoremu 2.3. Ako treba odrediti supremum skupa (a ne niza), onda bi trebalo zapravo ići ovako.